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■6695 / inTopicNo.1) 　積分の問題
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□投稿者/ never 一般人(1回)-(2005/12/20(Tue) 00:17:03)
    放物線Y=x^2をy軸のまわりに回転してできる回転放物面を内壁とする容器に、毎秒8cm^2の割合で水を静かに注ぎいれるとき、水面の上昇する速さを、水を注ぎ始めてからの時間の関数として表せ。

    という問題が良く分かりません。
    分かる方、できるだけ詳しくお願いします。
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■6698 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 積分の問題
□投稿者/ だるまにおん 大御所(773回)-(2005/12/20(Tue) 00:36:38)
    水を入れる速度＝水面の面積×水面の上昇する速度
    という公式を使うだけですね。
    数式で書くと、(ただの合成関数の微分なのですが)
    dV/dt=(dV/dh)・(dh/dt)
    V：水の体積
    t：注ぎ始めてからの時間
    h：水面の高さ
    dV/dt：水を入れる速度
    dV/dh：水面の面積(t秒のときのです)
    dh/dt：水面の上昇する速度

    dh/dtを求めれば良いですね。
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■7123 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 積分の問題
□投稿者/ never 一般人(5回)-(2006/01/02(Mon) 23:15:37)
    ■No6698に返信(だるまにおんさんの記事)
    > 水を入れる速度＝水面の面積×水面の上昇する速度
    > という公式を使うだけですね。
    > 数式で書くと、(ただの合成関数の微分なのですが)
    > dV/dt=(dV/dh)・(dh/dt)
    > V：水の体積
    > t：注ぎ始めてからの時間
    > h：水面の高さ
    > dV/dt：水を入れる速度
    > dV/dh：水面の面積(t秒のときのです)
    > dh/dt：水面の上昇する速度
    >
    > dh/dtを求めれば良いですね。

    ご返信ありがとうございます。

    本当に申し訳ないのですが、まだ良く分かりません。
    手順と途中計算をもう少し詳しくお願いします。

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■7125 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 積分の問題
□投稿者/ 迷える子羊 一般人(26回)-(2006/01/02(Mon) 23:47:16)
    >>水を入れる速度＝水面の面積×水面の上昇する速度
    >>という公式を使うだけですね。
    >>数式で書くと、(ただの合成関数の微分なのですが)
    >>dV/dt=(dV/dh)・(dh/dt)
    >>V：水の体積
    >>t：注ぎ始めてからの時間
    >>h：水面の高さ
    >>dV/dt：水を入れる速度
    >>dV/dh：水面の面積(t秒のときのです)
    >>dh/dt：水面の上昇する速度
    >>
    >>dh/dtを求めれば良いですね。

    t秒の時、V=8tで、高さがhであるから、V=[0→h]πx^2dx=πh^3/3ですね。
    で、dV/dt=8、dV/dh=πh^2であるからdh/dtは・・・。

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■7129 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 積分の問題
□投稿者/ 迷える子羊 一般人(28回)-(2006/01/03(Tue) 00:07:33)
    > t秒の時、V=8tで、高さがhであるから、V=[0→h]πx^2dx=πh^3/3


    あっ、すみません。インテグラルの記号がぬけてました。
    V=∫[0→h]πx^2dx=πh^3/3ですね。
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■7224 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 積分の問題
□投稿者/ never 一般人(15回)-(2006/01/04(Wed) 23:41:30)
    時間の関数で表せっていうのが良くわかんないんですが
    答えは
    v=8/πh^2
    でいいですか？
    それとも、tを使ったりするんでしょうか？

    微分積分が苦手なもので・・・・。
    ご返信よろしくお願いします。
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■7230 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 積分の問題
□投稿者/ 迷える子羊 一般人(38回)-(2006/01/05(Thu) 02:02:52)
    時間の関数で表せっていうのが良くわかんないんですが
    > 答えは
    > v=8/πh^2
    > でいいですか？
    だるまにおんさんのおっしゃる通り、dh/dtを求めればよいのですから、答えはdh/dt=8/πh^2と思うのですが？

    > それとも、tを使ったりするんでしょうか？
    速さの時間微分をしたら、変位のｈが答えに出てきているのは当然だと思います。
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■7231 / inTopicNo.8) 　Re[7]: 積分の問題
□投稿者/ 迷える子羊 一般人(39回)-(2006/01/05(Thu) 03:20:53)
    答えとした　dh/dt=8/πh^2　で、
    左辺は変位hの時間微分つまり（求める）速さを表します。
    右辺は変位hを用いた関数となっていますが、変位、速度、加速度は時間tでつながりがありますので（この場合前２つ）これで問題ないと思います。問題文に「・・・速さを、・・・時間の関数として表せ」とあります。「tを用いて」とは書いてませんし、間接的に時間の関数と表されているのでこれでいいように思えます。無理矢理に（？）tを用いて表すなら以下のようになる。

    V=8t=πh^3/3より、h=(24t/π)^(1/3)これを冒頭の答えに代入して、
    dh/dt=8/｛π(24t/π)^(2/3)｝　３乗根とか出てきますけど大丈夫ですか。どうでしょう？

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■7279 / inTopicNo.9) 　Re[8]: 積分の問題
□投稿者/ never 一般人(16回)-(2006/01/05(Thu) 15:54:19)
    ご返信ありがとうございます。
    確かにtを使うと変な形になりますね。
    上の説明で理解できました。

    本当にお世話になりました。
解決済み!
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