数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[9]: 教えてください / Page: 0]

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■6338 / inTopicNo.1)

　教えてください

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□投稿者/ HKL 一般人(4回)-(2005/12/08(Thu) 18:11:51)

曲面の面積の求め方がわかりません。
曲面を真上から見た平面図が縦40.55,横33でそれぞれがR（半径）=49.5の円弧になっている曲面なのですが、面積の求め方を教えてください。お願いします。

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■6375 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 教えてください

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□投稿者/ 白拓付き人(55回)-(2005/12/09(Fri) 15:07:55)

この図で高さをz、横をx、縦をy、半径Rとすると、この曲面は
z=f(x,y)=√(R^2-x^2)+√(R^2-y^2)と表せます。
曲面積は∬[D]√{(f_x)^2+(f_y)^2+1}dxdy
（f_xはfを,xf_yはyで偏微分したもの）
なのであとは工夫して計算してください。

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■6376 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 教えてください

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□投稿者/ HKL 一般人(6回)-(2005/12/09(Fri) 17:33:51)

∬[D]√{(f_x)^2+(f_y)^2+1}dxdyを具体化すると、

∬[D]{1/(R^2-x^2) + 1/(R^2-y^2) + 1}dxdy
(D:0≦x≦16.5,0≦y≦20.275)

になると思うのですが、計算がうまくいきません。計算方法を教えてもらえないでしょうか？お願いします。

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■6377 / inTopicNo.4)

　（削除）

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□投稿者/ -(2005/12/09(Fri) 17:37:05)

この記事は(投稿者)削除されました

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■6378 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 教えてください

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□投稿者/ HKL 一般人(8回)-(2005/12/09(Fri) 17:38:58)

2005/12/09(Fri) 18:58:18 編集(投稿者)

何度も訂正してすいません。
4×∬[D]{x^2/(R^2-x^2) + y^2/(R^2-y^2) + 1}dxdy
(D:0≦x≦16.5,0≦y≦20.275)
でした。

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■6393 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 教えてください

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□投稿者/ 白拓付き人(58回)-(2005/12/09(Fri) 22:19:18)

{D|-a≦x≦a,-b≦y≦b} (a=16.5,b=20.275,R=49.5)
f_x=-x/√(R^2-x^2),f_y=-y/√(R^2-y^2)ですから、
曲面積:∬[D]√{(f_x)^2+(f_y)^2+1}dxdy
=∬[D]√{x^2/(R^2-x^2)+y^2/(R^2-y^2)+1}dxdy
=∬[D]√{(x^2(R^2-y^2)+y^2(R^2-x^2)+(R^2-x^2)(R^2-y^2))/((R^2-x^2)(R^2-y^2))}dxdy
=∬[D]√{(R^4-x^2y^2)/((R^2-x^2)(R^2-y^2))}dxdy
=4∫[y:0～b]∫[x:0～a]√{(R^4-x^2y^2)/((R^2-x^2)(R^2-y^2))}dxdy
ここからは極座標変換でもしてやってみてください。（私はする気が起きませんw。）
Ｄの置き換えには工夫しましょう。

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■6409 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 教えてください

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□投稿者/ HKL 一般人(10回)-(2005/12/10(Sat) 15:37:35)

極座標変換が全く分からないのですが…

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■6413 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 教えてください

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□投稿者/ HKL 一般人(11回)-(2005/12/10(Sat) 16:04:04)

■No6393に返信(白拓さんの記事)
> ∬[D]√{(R^4-x^2y^2)/((R^2-x^2)(R^2-y^2))}dxdy

∬[D]√{(R^4+x^2y^2)/((R^2-x^2)(R^2-y^2))}dxdy
ではないでしょうか？

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■6414 / inTopicNo.9)

　Re[7]: 教えてください

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□投稿者/ 白拓付き人(65回)-(2005/12/10(Sat) 16:12:55)

> ∬[D]√{(R^4+x^2y^2)/((R^2-x^2)(R^2-y^2))}dxdy

∬[D]√{(R^4-x^2y^2)/((R^2-x^2)(R^2-y^2))}dxdyであっていると思いますが。
あと、マルチポスト（複数の掲示板に同じ問題を投稿）しすぎです。
マナーの問題なのでやめましょう。

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■6422 / inTopicNo.10)

　Re[8]: 教えてください

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□投稿者/ HKL 一般人(13回)-(2005/12/10(Sat) 18:44:18)

■No6414に返信(白拓さんの記事)
>>∬[D]√{(R^4+x^2y^2)/((R^2-x^2)(R^2-y^2))}dxdy
>
> ∬[D]√{(R^4-x^2y^2)/((R^2-x^2)(R^2-y^2))}dxdyであっていると思いますが。
> あと、マルチポスト（複数の掲示板に同じ問題を投稿）しすぎです。
> マナーの問題なのでやめましょう。

すいません。どうしても知りたかったので他の掲示板にも書きました。以後、気を付けます。
あと、∬[D]√{(R^4-x^2y^2)/((R^2-x^2)(R^2-y^2))}dxdyで合ってますね。これもごめんなさい。

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■6478 / inTopicNo.11)

　Re[9]: 教えてください

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□投稿者/ HKL 一般人(14回)-(2005/12/11(Sun) 21:20:57)

2005/12/12(Mon) 15:10:16 編集(投稿者)
2005/12/11(Sun) 21:25:40 編集(投稿者)

∬[D]√[(R^4-x^2y^2)/{(R^2-x^2)(R^2-y^2)}]dxdy
=∫[0,20.275]{1/√(R^2-y^2)}【∫[0,16.5]√{(R^4-x^2y^2)/(R^2-x^2)}dx】dyとし、

xについての積分部分で、極座標変換すると、
x=Rsin(θ)と置き、α=Arcsin(16.5/R)
∫[0,16.5]√{(R^4-x^2y^2)/(R^2-x^2)}dx
=∫[0,α]R√{R^2-y^2sin^2(θ)}dθ

となったのですが、これでいいのでしょうか？

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