 | 2005/11/19(Sat) 00:18:15 編集(投稿者)
前にも質問させていただきました(5650～)が、別の点において疑問に思ったので質問させてください。
無限級数1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)+(1/4)-… …①について、
級数①の初項から第n項までの部分和をS_nとするとき、発散、収束を調べよ。
という問題なのですが、
S_(2n-1)やS_2nの求め方は分かったのですが、
例えば、細野真宏さんの「極限が本当に分かる本」のp151から書いてあるように、
n=2k-1(k=1,2…)と置いた場合
S_n = S_(2k-1) = 1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)+(1/4)+…-{1/(2k-1)}+(1/(2k-1)
で、本来ならばやる必要はありませんが、k=(n+1)/2を代入して、
=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)+(1/4)+…-(1/n)+(1/n) =1
となりますのでS_(2n-1)と同じになって問題ありません。
ところが、n=2kのとき、
S_n = S_2k = 1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)+(1/4)+…-{1/(2k-1)}+{1/(2k-1)}-{1/(2k)}
=S_(2k-1) - {1/(2k)}
で、k=n/2を代入すると、
=1-(1/n)
となります。ところが、S2n=1-{1/(n+1)}ですので、これと比較すると同じになっていません。
どこがおかしいのでしょうか。それとも式自体はおかしくなくて、私の頭がおかしいのでしょうか。
宜しくお願いいたします。
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