| n=2k-1(k=1,2…)と置いた場合 S_n = S_(2k-1) = 1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)+(1/4)+…-(1/k)+(1/k) これにk=(n+1)/2を代入すると(代入しなくても) S_n = S_(2k-1) = 1 従って nが奇数の時 S_n = 1 ですから、 nに2n-1を代入しても S_(2n-1) = 1 となります。
n=2kのとき、 S_n = S_2k = 1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)+(1/4)+…-(1/k)+(1/k)-{1/(k+1)} =S_(2k-1) - {1/(k+1)} これにk=n/2を代入すると、 S_n = S_2k = 1 - 1/{(n/2)+1} = 1 - 2/(n+2) これは S_n ですから、S2n と一致しなくてもおかしくありません。 nが偶数の時 S_n = 1 - 2/(n+2) と出ましたので、 このnに2nを代入すると S2n = 1 - 2/(2n+2) = 1 - 1/(n+1) となり、合います。
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