| 2005/11/19(Sat) 00:18:15 編集(投稿者)
前にも質問させていただきました(5650〜)が、別の点において疑問に思ったので質問させてください。
無限級数1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)+(1/4)-… …@について、 級数@の初項から第n項までの部分和をS_nとするとき、発散、収束を調べよ。
という問題なのですが、 S_(2n-1)やS_2nの求め方は分かったのですが、 例えば、細野真宏さんの「極限が本当に分かる本」のp151から書いてあるように、
n=2k-1(k=1,2…)と置いた場合 S_n = S_(2k-1) = 1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)+(1/4)+…-{1/(2k-1)}+(1/(2k-1) で、本来ならばやる必要はありませんが、k=(n+1)/2を代入して、 =1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)+(1/4)+…-(1/n)+(1/n) =1 となりますのでS_(2n-1)と同じになって問題ありません。 ところが、n=2kのとき、 S_n = S_2k = 1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)+(1/4)+…-{1/(2k-1)}+{1/(2k-1)}-{1/(2k)} =S_(2k-1) - {1/(2k)} で、k=n/2を代入すると、 =1-(1/n) となります。ところが、S2n=1-{1/(n+1)}ですので、これと比較すると同じになっていません。 どこがおかしいのでしょうか。それとも式自体はおかしくなくて、私の頭がおかしいのでしょうか。 宜しくお願いいたします。
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