数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 整数問題 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ5 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■46990 / inTopicNo.1)

　整数問題

▼■

□投稿者/ とり天一般人(1回)-(2015/03/26(Thu) 13:11:27)

m(m+1)=8n(n+1)
をみたす自然数(m,n)の求め方おしえてください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■46999 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ WIZ 一般人(38回)-(2015/03/27(Fri) 21:02:36)

u, vを整数として、m = f(u, v), n = g(u, v)とパラメタ表示はできました。
しかし、以下で解を網羅しているか自信が無いのと、
実際自然数となるのm, nの値を計算するのは困難なので実用性(?)はありません。

技巧的ですが、
m(m+1) = 8n(n+1)
⇒ m(m+1)+{(n^2)-2n+1} = 9(n^2)+6n+1
⇒ m(m+1)+{(n-1)^2} = (3n+1)^2
⇒ {4(m^2)+4m}+4{(n-1)^2} = 4{(3n+1)^2}
⇒ {4(m^2)+4m+1}+{(2n-2)^2} = {(6n+2)^2}+1
⇒ {(2m+1)^2}+{(2n-2)^2} = {(6n+2)^2}+(1^2)
と変形できます。

a = 2m+1, b = 2n-2, c = 6n+2, d = 1, e = (a^2)+(b^2) = (c^2)+(d^2)とおけば、
非負整数eは2個(以下)の平方数の和に表せる訳です。

もし、(a^2)+(b^2)と(c^2)+(d^2)が符号や順番を度外視して同一の2平方数の和を表していると仮定すると、
m, nは自然数ですので、a = 2m+1 > 1かつb = 2n-2は偶数ですので、
a, bも±d = ±1に等しくなることができず不合理です。
よって、(a^2)+(b^2)と(c^2)+(d^2)は符号や順番を度外視して同一の2平方数の和ではありません。

a = 2m+1 > 1, c = 6n+2 > 1からeは自然数となります。
自然数eが2個の平方数の和に2通りに表せるのば、ある整数u, v, x, yが存在して、
(u, v) = (x, y) = 1であり、
e = {(u^2)+(v^2)}{(x^2)+(y^2)} = {(ux+vy)^2}+{(uy-vx)^2} = {(ux-vy)^2}+{(uy+vx)^2}
と表される場合です。
# 上記は自明ではないですが、証明は省略させて頂きます。

a = 2m+1 = ux+vy・・・・・(1)
b = 2n-2 = uy-vx・・・・・(2)
c = 6n+2 = ux-vy・・・・・(3)
d = 1 = uy+vx・・・・・(4)
とします。

(4)より、
y = (1-vx)/u・・・・・(5)

(3)-3*(2)に(5)を代入して、
(6n+2)-3(2n-2) = (ux-vy)-3(uy-vx)
⇒ 8 = (u+3v)x-(v+3u)(1-vx)/u
⇒ 8u = {(u^2)+3uv}x-(v+3u)(1-vx) = {(u^2)+6uv+(v^2)}x-(v+3u)
⇒ 11u+v = {(u^2)+6uv+(v^2)}x
⇒ x = (11u+v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}・・・・・(6)

(6)を(5)に代入すると、
y = (1-v(11u+v)/{(u^2)+6uv+(v^2)})/u
= {{(u^2)+6uv+(v^2)}-{11uv+(v^2)}}/{u{(u^2)+6uv+(v^2)}}
= {(u^2)-5uv}/{u{(u^2)+6uv+(v^2)}}
= (u-5v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}・・・・・(7)

(1)に(6)(7)を代入して、
2m+1 = u(11u+v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}+v(u-5v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
= {11(u^2)+uv+uv-5(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
= {11(u^2)+2uv-5(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
⇒ 2m = {{11(u^2)+2uv-5(v^2)}-{(u^2)+6uv+(v^2)}}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
= {10(u^2)-4uv-6(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
⇒ m = {5(u^2)-2uv-3(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
= (5u+3v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}・・・・・(8)

(2)に(6)(7)を代入して、
2n-2 = u(u-5v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}-v(11u+v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
= {(u^2)-5uv-11uv-(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
= {(u^2)-16uv-(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
⇒ 2n = {{(u^2)-16uv-(v^2)}+2{(u^2)+6uv+(v^2)}}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
= {3(u^2)-4uv+(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
= (3u-v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
⇒ n = (1/2)(3u-v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}・・・・・(9)

# 以下は検算を兼ねて計算してみただけ。
# (3)に(6)(7)を代入して、
# 6n+2 = u(11u+v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}-v(u-5v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
# = {11(u^2)+uv-uv+5(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
# = {11(u^2)+5(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
# ⇒ 6n = {{11(u^2)+5(v^2)}-2{(u^2)+6uv+(v^2)}}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
# = {9(u^2)-12uv+3(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
# ⇒ n = (1/2){3(u^2)-4uv+(v^2))}/{(u^2)+6uv+(v^2)}

・・・と、一応以下の通りとなり、u, vの値に関わらず恒等式としてm(m+1) = 8n(n+1)が成立します。
m = {5(u^2)-2uv-3(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)} = (5u+3v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
m+1 = {6(u^2)+4uv-2(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)} = 2(3u-v)(u+v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
n = (1/2){3(u^2)-4uv+(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)} = (1/2)(3u-v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
n+1 = (1/2){5(u^2)+8uv+3(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)} = (1/2)(5u+3v)(u+v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}

但し、上記式からm, nが共に自然数となる整数u, vの組み合わせを見つけるの至難の業でしょう!
目視で(m, n) = (15, 5)(32, 11)という解がありますが、このときのu, vの値は分かりませんでした。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■47000 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(294回)-(2015/03/27(Fri) 21:45:08)

(u,v)=(9,-1)のとき(m,n)=(15,5)
(u,v)=(7,-1)のとき(m,n)=(32,11)
となりますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■47005 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ みずき付き人(52回)-(2015/03/29(Sun) 01:58:40)

■No47000に返信(らすかるさんの記事)
> (u,v)=(9,-1)のとき(m,n)=(15,5)
> (u,v)=(7,-1)のとき(m,n)=(32,11)
> となりますね。

(u,v)=(9,-1)のとき、(x,y)=(7/2,1/2)
(u,v)=(7,-1)のとき、(x,y)=(19/2,3/2)
となって、x,yが整数にならないようなのですが、
これって問題ないのでしょうか。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■47006 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(295回)-(2015/03/29(Sun) 02:29:13)

最後の式しか見ていませんでした。
確かにx,yが整数にならないと途中の論理が成り立たなそうですね。
そう考えると、適するu,vの値を見つけるのはちょっと無理そうです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■47007 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ みずき付き人(53回)-(2015/03/29(Sun) 04:43:56)

■No47006に返信(らすかるさんの記事)
> 確かにx,yが整数にならないと途中の論理が成り立たなそうですね。
> そう考えると、適するu,vの値を見つけるのはちょっと無理そうです。

そうですね。WIZさんの論理を私が正しく解釈していれば、
(m,n)=(15,5)となるような整数の組(u,v,x,y)が存在しないことは
次のように示せると思います。
m=(5u+3v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}=15
n=(1/2)(3u-v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}=5
x=(11u+v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
y=(1-vx)/u
なる整数(u,v,x,y)が存在すると仮定
⇒(5u+3v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}=3*(1/2)(3u-v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
⇒2(5u+3v)(u-v)=3(3u-v)(u-v)
⇒v=-u/9 (∵u≠v)
⇒x=(11u+(-u/9))/{(u^2)+6u(-u/9)+(-u/9)^2}=63/(2u)
しかし、これを満たす整数の組(x,u)は存在しない。よって、仮定が誤り。
よって、WIZさんのパラメタ表示は(m,n)=(15,5)を表せない。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■47009 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(297回)-(2015/03/29(Sun) 07:58:46)

あらためて考えました。

m(m+1)=8n(n+1)を変形して
(2m+1)^2-8(2n+1)^2=-7
x^2-8y^2=-7の自然数解を(x,y)=(a[n],b[n])とすると
(a[n],b[n])の漸化式は
a[1]=1, a[2]=5, a[3]=11, a[4]=31, a[n]=6a[n-2]-a[n-4]
b[1]=1, b[2]=2, b[3]=4, b[4]=11, b[n]=6b[n-2]-b[n-4]
（ http://oeis.org/A077446 ）
x,yは奇数でなければなりませんが、
b[n]はn≡2,3(mod4)のとき偶数になります（a[n]は常に奇数）ので
これを飛ばして(a[1],b[1])=(31,11)となるように漸化式を作り直すと
a[1]=31, a[2]=65, a[3]=1055, a[4]=2209, a[n]=34a[n-2]-a[n-4]
b[1]=11, b[2]=23, b[3]=373, b[4]=781, b[n]=34b[n-2]-b[n-4]
さらにこれをm,nの漸化式になるように作り直すと
a[1]=15, a[2]=32, a[3]=527, a[4]=1104, a[n]=34a[n-2]-a[n-4]+16
b[1]=5, b[2]=11, b[3]=186, b[4]=390, b[n]=34b[n-2]-b[n-4]+16
この漸化式による
(a[n],b[n])=
(15,5), (32,11), (527,186), (1104,390), (17919,6335), (37520,13265),
(608735,215220), (1274592,450636), (20679087,7311161), (43298624,15308375),…
が(m,n)の一般解になりますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■47011 / inTopicNo.8)

　Re[1]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ WIZ 一般人(40回)-(2015/03/29(Sun) 16:02:54)

みずきさんの47005
> (u,v)=(9,-1)のとき、(x,y)=(7/2,1/2)
> (u,v)=(7,-1)のとき、(x,y)=(19/2,3/2)
> となって、x,yが整数にならないようなのですが、
> これって問題ないのでしょうか。

みずきさんの47007
> ⇒x=(11u+(-u/9))/{(u^2)+6u(-u/9)+(-u/9)^2}=63/(2u)
> しかし、これを満たす整数の組(x,u)は存在しない。よって、仮定が誤り。
> よって、WIZさんのパラメタ表示は(m,n)=(15,5)を表せない。

上記はu, v, x, yが4つとも整数であるという前提であれば正しいです。
かつ、私の示したパラメタ表示もu, v, x, yが4つとも整数であるという前提から演繹していたのも事実です。

但し、最終的に得られた
m = (5u+3v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
n = (1/2)(3u-v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
は、u, v(と消去されているけどx, y)の値が整数でなくてもm(m+1) = 8n(n+1)を恒等的に満たしていますので
整数以外の値であってもu, vを与えて、m, nが自然数になるのならば、それはm(m+1) = 8n(n+1)を満たすとは言えますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■47012 / inTopicNo.9)

　Re[2]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ みずき付き人(54回)-(2015/03/29(Sun) 20:38:59)

■No47011に返信(WIZさんの記事)
> 但し、最終的に得られた
> m = (5u+3v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
> n = (1/2)(3u-v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
> は、u, v(と消去されているけどx, y)の値が整数でなくてもm(m+1) = 8n(n+1)を恒等的に満たしていますので
> 整数以外の値であってもu, vを与えて、m, nが自然数になるのならば、それはm(m+1) = 8n(n+1)を満たすとは言えますね。

確かにそうですね。言われてみれば納得です。ありがとうございます。

ちなみに、
命題A：(u,v)=(x,y)=1かつa=ux+vy,b=uy-vx,c=ux-vy,d=uy+vxなる整数の組(u,v,x,y)が存在する。
命題B：自然数eが e=(a^2)+(b^2)=(c^2)+(d^2)と2個の平方数の和に2通りに表せる。
としたとき、私はWIZさんが「A⇒Bは真」を用いられたと理解していますが、
この理解で正しいですよね？
また、「A⇔Bは真」は正しいのでしょうか？

# とり天さん、スレ汚しすみません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■47016 / inTopicNo.10)

　Re[7]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(298回)-(2015/03/30(Mon) 15:35:20)

m(m+1)=8n(n+1) を満たす自然数(m,n)のk番目の解は
(m,n)=([{{3-(√2)(-1)^k}(√2+1)^(2k+1)}/4],[{{3√2-2(-1)^k}(√2+1)^(2k+1)}/16])　（[　]はガウス記号）
となりました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■47018 / inTopicNo.11)

　Re[1]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ WIZ 一般人(42回)-(2015/03/30(Mon) 16:59:03)

みずきさんの47012への返信です。
# 別スレを立てた方が良かったと思いますが。

> としたとき、私はWIZさんが「A⇒Bは真」を用いられたと理解していますが、
> この理解で正しいですよね？

はい、そうです。
命題Aは私の書き込み不足があり、(u^2)+(v^2) ≠ (x^2)+(y^2)という条件も必要でした。
A⇒Bの証明を含む、自然数が2平方数和に表せる場合、
それが何通りになるかについては別掲示板の方で紹介した書籍に記載されています。

> また、「A⇔Bは真」は正しいのでしょうか？

B⇒Aも真だと思います。
命題Bも私の書き込み不足があり、(a, b)と(c, d)の少なくとも一方は1であることが必要です。

B⇒Aは2次体Q(√(-1))(ガウスの整数)において素因数分解の一意性が成立するというのと(ほぼ)同値です。
概説すると以下の通りです。

a, b, c, d, eを0でない有理数の整数として、e = (a^2)+(b^2) = (c^2)+(d^2),
(a, b)と(c, d)の少なくとも一方は1だとします。
iを虚数単位として、e = (a+bi)(a-bi) = (c+di)(c-di)と因数分解され、
a+bi ≠ ±c±diかつa+bi ≠ ±d±ciとすると、、
eが本質的に異なる(単数を度外視したり、積の順序を入れ替えたりしただけではないという意味)
2通りの因数分解を持つので、ガウスの整数の素因数分解の一意性より、
a+bi, a-bi, c+di, c-diは素数ではあり得ません。

u, vを有理数の整数として、最大公約数を(a+bi, c+di) = u+viとすると、
共役から(a-bi, c-di) = u-viです。
同様にx, yを有理数の整数として、最大公約数を(a+bi, c-di) = x+yiとすると、
共役から(a-bi, c+di) = x-yiです。
よって、
a+bi = (u+vi)(x+yi)
a-bi = (u-vi)(x-yi)
c+di = (u+vi)(x-yi)
c-di = (u-vi)(x+yi)
となり、
e = (u+vi)(u-vi)(x+yi)(x-yi) = {(u^2)+(v^2)}{(x^2)+(y^2)}
= {(ux+vy)^2}+{(uy-vx)^2} = {(ux-vy)^2}+{(uy+vx)^2}

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■47022 / inTopicNo.12)

　Re[2]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ みずき付き人(55回)-(2015/03/30(Mon) 19:14:00)

■No47018に返信(WIZさんの記事)
> # 別スレを立てた方が良かったと思いますが。

そうだったかもしれません。以後気を付けます。
とり天さん、すみませんでした。

> B⇒Aは2次体Q(√(-1))(ガウスの整数)において素因数分解の一意性が成立するというのと(ほぼ)同値です。
> 概説すると以下の通りです。

納得できました。ありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■47023 / inTopicNo.13)

　Re[3]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ とり天一般人(2回)-(2015/03/30(Mon) 20:44:44)

皆様ありがとうございます。
いろいろ勉強になります。

もうひとつ分からない問題があるので教えていただけないでしょうか。
問題集には簡単だと書いてあるのですが、わかりませんでした。
よろしくお願いします。

pは素数、kは自然数とするとき、
m(m+1)=p^(2k)n(n+1)
をみたす自然数(m,n)は存在しないことを示せ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■47024 / inTopicNo.14)

　Re[4]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ みずき付き人(56回)-(2015/03/30(Mon) 21:42:01)

■No47023に返信(とり天さんの記事)
> pは素数、kは自然数とするとき、
> m(m+1)=p^(2k)n(n+1)
> をみたす自然数(m,n)は存在しないことを示せ。

次のようにできると思います。
簡単のため、p^k=qと書くことにします。
m(m+1)=(q^2)n(n+1)=qn(qn+q)で
qn(qn+1)＜qn(qn+q)＜(qn+q-1)(qn+q)が成り立つので
m=qn+i,(qn+i)(qn+i+1)=(q^2)n(n+1)
となるような整数i（ただし、1≦i≦q-2）が存在することが必要です。
(q^2)(n^2)+qn(i+1)+qni+i(i+1)=(q^2)n(n+1)と展開すると
i(i+1)がqの倍数であることが導かれます。
iとi+1は互いに素なので、iがqの倍数か、i+1がqの倍数かのいずれかです。
よって、i≧qまたはi+1≧q、すなわちi≧q-1が導かれますが、
これは1≦i≦q-2を満たしません。
よって、条件を満たす(m,n)は存在しません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■47025 / inTopicNo.15)

　Re[4]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(299回)-(2015/03/31(Tue) 04:08:20)

別解です。
m(m+1)=p^(2k)n(n+1)
mとm+1は互いに素だから、mかm+1のどちらか一方がp^(2k)で割り切れる。

m=qp^(2k)（qは自然数）とすると q{qp^(2k)+1}=n(n+1)
この式から明らかにn＞q、整理して (qp^k+n)(qp^k-n)=n-q
右辺は正だから、この式が成り立つためにはqp^k-n＞0すなわちqp^k-n≧1
このとき左辺はnより大きいから、右辺と一致しない。

m+1=qp^(2k)（qは自然数）とすると q{qp^(2k)-1}=n(n+1)
整理して (qp^k+n)(qp^k-n)=n+q
右辺は正だから、この式が成り立つためにはqp^k-n＞0すなわちqp^k-n≧1
このとき左辺はn+qより大きいから、右辺と一致しない。

よって解なし。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■47040 / inTopicNo.16)

　Re[5]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ とり天一般人(3回)-(2015/04/03(Fri) 13:13:19)

ありがとうございます。わかりました。

追加で質問なのですが、
m(m+1)=p^(2k-1)n(n+1)
をみたす(m,n)は必ず存在するのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■47041 / inTopicNo.17)

　Re[6]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(300回)-(2015/04/03(Fri) 13:30:15)

m(m+1)=kn(n+1)のkが平方数でないときは必ず解が存在するようですが、
証明は（今のところ）わかりません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター