□投稿者/ WIZ 一般人(42回)-(2015/03/30(Mon) 16:59:03)
 | みずきさんの47012への返信です。
# 別スレを立てた方が良かったと思いますが。
> としたとき、私はWIZさんが「A⇒Bは真」を用いられたと理解していますが、
> この理解で正しいですよね？
はい、そうです。
命題Aは私の書き込み不足があり、(u^2)+(v^2) ≠ (x^2)+(y^2)という条件も必要でした。
A⇒Bの証明を含む、自然数が2平方数和に表せる場合、
それが何通りになるかについては別掲示板の方で紹介した書籍に記載されています。
> また、「A⇔Bは真」は正しいのでしょうか？
B⇒Aも真だと思います。
命題Bも私の書き込み不足があり、(a, b)と(c, d)の少なくとも一方は1であることが必要です。
B⇒Aは2次体Q(√(-1))(ガウスの整数)において素因数分解の一意性が成立するというのと(ほぼ)同値です。
概説すると以下の通りです。
a, b, c, d, eを0でない有理数の整数として、e = (a^2)+(b^2) = (c^2)+(d^2),
(a, b)と(c, d)の少なくとも一方は1だとします。
iを虚数単位として、e = (a+bi)(a-bi) = (c+di)(c-di)と因数分解され、
a+bi ≠ ±c±diかつa+bi ≠ ±d±ciとすると、、
eが本質的に異なる(単数を度外視したり、積の順序を入れ替えたりしただけではないという意味)
2通りの因数分解を持つので、ガウスの整数の素因数分解の一意性より、
a+bi, a-bi, c+di, c-diは素数ではあり得ません。
u, vを有理数の整数として、最大公約数を(a+bi, c+di) = u+viとすると、
共役から(a-bi, c-di) = u-viです。
同様にx, yを有理数の整数として、最大公約数を(a+bi, c-di) = x+yiとすると、
共役から(a-bi, c+di) = x-yiです。
よって、
a+bi = (u+vi)(x+yi)
a-bi = (u-vi)(x-yi)
c+di = (u+vi)(x-yi)
c-di = (u-vi)(x+yi)
となり、
e = (u+vi)(u-vi)(x+yi)(x-yi) = {(u^2)+(v^2)}{(x^2)+(y^2)}
= {(ux+vy)^2}+{(uy-vx)^2} = {(ux-vy)^2}+{(uy+vx)^2}
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