数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: Π_{k=1}^∞(1+s/k)exp(-s/k)の収束を示したいです / Page: 0]

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■44467 / inTopicNo.1)

　Π_{k=1}^∞(1+s/k)exp(-s/k)の収束を示したいです

□投稿者/ Phiona 一般人(1回)-(2012/02/26(Sun) 05:45:19)

Π_{k=1}^∞(1+s/k)exp(-s/k)が収束する事を示してます。

それで
「Σ_{n=1}^∞a_nが絶対収束⇒Π_{n=1}^∞(1+a_n)は収束」という定理を使用したいです。

それで
Σ_{k=1}^∞|(1+s/k)exp(-s/k)-1|
=Σ_{k=1}^∞[1+2exp(1/Re(s/k))cos(Im(s/k))+exp(2/Re(s/k))+exp(2/Re(s/k))Im(s/k)^2-2exp(1/Re(s/k))Im(s/k)sin(Im(s/k))
+2exp(1/Re(s/k))Re(s/k)cos(Im(s/k))+2exp(2/Re(s/k))Re(s/k)+exp(2/Re(s/k))Re(s/k)^2]
の収束性を吟味すると

lim_{n→∞}sup{|(1+s/(k+1))exp(-s/(k+1))-1|/|(1+s/k)exp(-s/k)-1|∈R;k≧n}
=lim_{n→∞}sup{|u_{k+1}(s)|/|u_k(s)|∈R;k≧n}

但し, u_k(s):=1+2exp(1/Re(s/k))cos(Im(s/k))+exp(2/Re(s/k))+exp(2/Re(s/k))Im(s/k)^2-2exp(1/Re(s/k))Im(s/k)sin(Im(s/k))
+2exp(1/Re(s/k))Re(s/k)cos(Im(s/k))+2exp(2/Re(s/k))Re(s/k)+exp(2/Re(s/k))Re(s/k)^2

となり, どのようにしてlim_{n→∞}sup{|u_{k+1}(s)|/|u_k(s)|∈R;k≧n}∈Rを示せばいいのかわかりません。

どうぞご教示くださいませ。

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■44469 / inTopicNo.2)

　Re[1]: Π_{k=1}^∞(1+s/k)exp(-s/k)の収束を示したいです

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□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(6回)-(2012/02/26(Sun) 11:51:29)

そうではなくて、、、
$2$\large \mathrm{e xp} \left( - \frac{s}{k} \right) = 1 - \frac{s}{k} + O \left( \frac{1}{k^2} \right)$
でいいのでは？

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■44474 / inTopicNo.3)

　Re[2]: Π_{k=1}^∞(1+s/k)exp(-s/k)の収束を示したいです

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□投稿者/ Phiona 一般人(2回)-(2012/02/27(Mon) 02:45:12)

早速のご回答誠に有難うございます。

> そうではなくて、、、
> exp(-s/k)=1-s/k+O(1/k^2)
> でいいのでは？

Landauの記号Oの定義は
「f,gをR^n→Rの写像とする時,f=O(g)
⇔
∃b∈R;∀(r_1,r_2,…r_n)∈{(r_1,r_2,…,r_n)∈R^n;b<min{r_1,r_2,…,r_n}}に対し,
f(r_1,r_2,…r_n)>0,g(r_1,r_2,…r_n)>0且つf(r_1,r_2,…r_n)<cg(r_1,r_2,…r_n)なるc∈Rが存在する」
ですよね。

複素数版のLandauの記号の定義がどうしても見つけれなかったのですが定義はどのようなものでしょうか?
exp(-s/k)=1-s/k+O(1/k^2)は一体どのように解釈すれば。。。

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■44478 / inTopicNo.4)

　Re[3]: Π_{k=1}^∞(1+s/k)exp(-s/k)の収束を示したいです

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□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(7回)-(2012/02/27(Mon) 22:42:44)

■No44474に返信(Phionaさんの記事)
> 早速のご回答誠に有難うございます。
>
> 複素数版のLandauの記号の定義がどうしても見つけれなかったのですが定義はどのようなものでしょうか?
> exp(-s/k)=1-s/k+O(1/k^2)は一体どのように解釈すれば。。。

　　 $2$\large \mathrm{e xp} \left( - \frac{s}{k} \right) = 1 - \frac{s}{k} + O \left( \frac{1}{k^2} \right)$
の意味は、
　　 $2$\large \left| \mathrm{e xp} \left( - \frac{s}{k} \right) - 1 + \frac{s}{k} \right| \le \frac{M_{s}}{k^2} \;\;\; \left( \exists M_{s} >0 \right)$ です。
$2$k$ に関する漸近式です。( $2$k$ は複素数ではない)

丁寧に示すと、
　　 $2$ \large \left| \left( 1+\frac{s}{k} \right) \mathrm{e xp} \left( - \frac{s}{k} \right)-1 \right| \le \frac{ \mathrm{e xp} \left( 2|s| \right) |s|^2}{k^2}$
なので、
　　 $2$ \large \sum_{k=1}^{\infty} \left( \left( 1+\frac{s}{k} \right) \mathrm{e xp} \left( - \frac{s}{k} \right)-1 \right)$
は絶対収束しますね。

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■44486 / inTopicNo.5)

　Re[4]: Π_{k=1}^∞(1+s/k)exp(-s/k)の収束を示したいです

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□投稿者/ Phiona 一般人(3回)-(2012/03/01(Thu) 11:05:56)

すいません。

M_s:=exp(2|s|)|s|^2と採れるのですね。
では
|exp(-s/k)-1+s/k|≦|(1+s/k)exp(-s/k)-1|の不等号が成立つのはどうしてでしょうか?

それと
|(1+s/k)exp(-s/k)-1|≦exp(2|s|)|s|^2/k^2
と不等号が成立つ理由をお教え下さいませ。

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■44489 / inTopicNo.6)

　Re[5]: Π_{k=1}^∞(1+s/k)exp(-s/k)の収束を示したいです

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□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(8回)-(2012/03/01(Thu) 14:17:30)

2012/03/02(Fri) 01:14:53 編集(投稿者)

■No44486に返信(Phionaさんの記事)

> M_s:=exp(2|s|)|s|^2と採れるのですね。
> では
> |exp(-s/k)-1+s/k|≦|(1+s/k)exp(-s/k)-1|の不等号が成立つのはどうしてでしょうか?
>

そうではありません。(書き方が悪かった？)
$2$ \large \left( 1+\frac{s}{k} \right) \mathrm{e xp} \left( - \frac{s}{k} \right)= 1 + O\left( \frac{1}{k^2} \right)$
と書いたときに、ランダウ $2$O$ 定数が $2$ \mathrm{e xp} \left( 2|s| \right) |s|^2$ と採れると言っているのであって、
$2$\large \mathrm{e xp} \left( - \frac{s}{k} \right) = 1 - \frac{s}{k} + O \left( \frac{1}{k^2} \right)$
においてランダウ $2$O$ 定数 $2$M_s$ が $2$\mathrm{e xp} \left( 2|s| \right) |s|^2$ と採れると言っているのではありません。
$2$\large{(}$ $2$M_s = \mathrm{e xp} \left( 2|s| \right) |s|^2$ なんて何処にも書いてないですよね？ $2$\large{)}$

> それと
> |(1+s/k)exp(-s/k)-1|≦exp(2|s|)|s|^2/k^2
> と不等号が成立つ理由をお教え下さいませ。

$2$ \large \left| \left( 1+\frac{s}{k} \right) \mathrm{e xp} \left( - \frac{s}{k} \right)-1 \right| = \left| \mathrm{e xp} \left( - \frac{s}{k} \right) \right| \left| \left( 1+\frac{s}{k} \right) - \mathrm{e xp} \left( \frac{s}{k} \right) \right| = \left| \mathrm{e xp} \left( - \frac{s}{k} \right) \right| \left| \sum_{n=2}^{\infty} \frac{s^n}{n! k^n} \right| \le \left| \mathrm{e xp} \left( - \frac{s}{k} \right) \right| \frac{\; |s|^2 \;}{\; k^2 \;} \mathrm{e xp} \left( \left| \frac{s}{k} \right| \right) \le \frac{ \mathrm{e xp} \left( 2|s| \right) |s|^2}{k^2}$

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■44493 / inTopicNo.7)

　Re[6]: Π_{k=1}^∞(1+s/k)exp(-s/k)の収束を示したいです

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□投稿者/ Phiona 一般人(4回)-(2012/03/03(Sat) 01:58:50)

どうも有難うございます。お蔭様で漸く解決できました。

解決済み!

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