数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: ∀ε>0に対して,0<∃M such that 0<x≦1⇒-ln(x)≦M・1/x^ε / Page: 0]

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■44146 / inTopicNo.1)

　∀ε>0に対して,0<∃M such that 0<x≦1⇒-ln(x)≦M・1/x^ε

□投稿者/ どさん子一般人(1回)-(2011/09/25(Sun) 09:36:36)

いつもお世話になってます。

∀ε>0に対して,0<∃M such that 0<x≦1⇒-ln(x)≦M・1/x^ε
を示したいのですがMをどのように取ればいいのか全くわかりません。

-ln(x)≦M・1/x^εよりM≧-x^εln(x)としてもx→0なら-x^εln(x)→∞なので

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■44148 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ∀ε>0に対して,0<∃M such that 0<x≦1⇒-ln(x)≦M・1/x^ε

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□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(34回)-(2011/09/25(Sun) 10:48:36)

■No44146に返信(どさん子さんの記事)
>
>x→0なら-x^εln(x)→∞なので

そんなことはありません。
x→0なら-x^εln(x)→0です。

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■44150 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ∀ε>0に対して,0<∃M such that 0<x≦1⇒-ln(x)≦M・1/x^ε

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□投稿者/ どさん子一般人(2回)-(2011/09/25(Sun) 21:57:50)

>>x→0なら-x^εln(x)→∞なので
> そんなことはありません。
> x→0なら-x^εln(x)→0です。

lim_{x→0}(-x^εln(x))=lim_{x→0}(-ln(x)/x^-ε)
=lim_{x→0}(-1/x)/(-εx^(-ε-1)) (∵ロピタルの定理)
=lim_{x→0}(1/(-εx^((-ε-1)+1))
=lim_{x→0}(1/(-εx^(-ε))
=lim_{x→0}x^ε/(-ε)=0

ですね。確かに。
ではM≧-x^εln(x)からどのようにしてMを求めればいいんですか?

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■44151 / inTopicNo.4)

　Re[3]: ∀ε>0に対して,0<∃M such that 0<x≦1⇒-ln(x)≦M・1/x^ε

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□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(35回)-(2011/09/26(Mon) 00:34:39)

■No44150に返信(どさん子さんの記事)
> ではM≧-x^εln(x)からどのようにしてMを求めればいいんですか?

$2$ \large \displaystyle \lim_{x \searrow 0} -x^{\varepsilon} \log x = 0$ なので、命題はほぼ明らかですが、敢えて真面目にやるなら、微分して挙動を調べてはどうでしょう。

$2$ \large \displaystyle y = -x^{\varepsilon} \log x$ とおくと、 $2$ \large \displaystyle y' = -x^{\varepsilon-1} ( \varepsilon \log x +1 )$ なので、増減表は

$2$ \large \displaystyle \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \\ x & 0 & \cdots & e^{-\frac{1}{\varepsilon}} & \cdots & 1 \\ \hline \\ y' & \setminus & + & 0 & - & \setminus \\ \hline \\ y & \backslash & \nearrow & \frac{1}{\varepsilon e} & \searrow& 0 \\ \hline \end{tabular}$

したがって、 $2$ \large \mathrm{M} = \frac{1}{\varepsilon e}$ と取ればよろしい。

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