 | いつもお世話になっております。今日は整数解について質問があります。
α、βが整数のとき、次のx,y,zについての連立方程式の解が整数解と
なるような最小のαを求め、その時のベータも示し、解を求めよという
問題に取り組んでいます。
x+y=z
x^2+y^2=αz^2
x^3+y^3=βz^3
但し(xyz≠0)
いろいろ消去していきますと最終的にxとyは、tを変数とする二次方程式
t^2-zt+(1-α)z^2＝0となり、これを解きますと
t=z(1±√(2α-1))/2
となりました。
ここからαを定めていくのですが、その論理展開についておかしな点が
ありましたら遠慮なくして頂けないでしょうか。
まず、t即ちx,yは整数解と言っているので、z(1±√(2α-1))/2は当然整数
でなければならない。zも整数であるから(1±√(2α-1))/2も整数でなけれ
ばならない。ということは分子は偶数でなければならない。ということは
±√(2α-1)は奇数でなければならない。ということは2α-1は奇数でなけ
ればならない。ここで、xyz≠0だから2α-1は1でない奇数でなければなら
ない。これを満たす最小のαは5であり、βは7。よって(x,y,z)は、nを
整数とすると(x,y,z)＝(-n,2n,n)、(2n,-n,n)
よろしくお願い致します。
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