数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 数列と極限値 / Page: 0]

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■44129 / inTopicNo.1)

　数列と極限値

□投稿者/ るり一般人(4回)-(2011/09/21(Wed) 21:34:34)

数列{x[n]}は漸化式☆を満たします。

☆
x[0]=0
x[n+1]=1/(1+x[n]) (n=0,1,…)

このとき極限lim[n→∞]x[n]を求めなさい。

ヒントにα=1/(1+α)を満たす正数αを利用するみたいに言われたんですが,利用の仕方がわからないです。等比数列を作るときみたいに
x[n+1]-α=1/(1+x[n])-1/(1+α)
のような形は関係あるんでしょうか？よろしくお願いします。

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■44130 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列と極限値

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□投稿者/ らぁ一般人(4回)-(2011/09/21(Wed) 21:48:13)

2011/09/21(Wed) 21:49:26 編集(投稿者)

■No44129に返信(るりさんの記事)

とりあえず、数項計算し予測を立てます。

$2$x_1=\frac{1}{1+x_0} =\frac{1}{1+0} =1$
$2$x_2=\frac{1}{1+x_1} =\frac{1}{1+1} =\frac{1}{2}$
$2$x_2=\frac{1}{1+x_1} =\frac{1}{1+\frac{1}{2}} =\frac{2}{3}$
$2$x_3=\frac{1}{1+x_2} =\frac{1}{1+\frac{2}{3}} =\frac{3}{5}$
$2$x_4=\frac{1}{1+x_3} =\frac{1}{1+\frac{3}{5}} =\frac{5}{8}$
から、
$2$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}.\;a_1=1,\,a_0=0$
とすると、

$2$x_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n+1}}$
と書けそうです。

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■44131 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数列と極限値

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□投稿者/ らぁ一般人(5回)-(2011/09/21(Wed) 22:02:15)

> $2$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}.\;a_1=1,\,a_0=0$
> とすると、
> $2$x_n=\frac{a_n}{a_{n+1}}$ ...(1)

を示します。

《1》 $2$n=0$ のとき、
$2$\frac{a_{0}}{a_{1}}=0=x_0$ で(1)は成り立つ。

《2》 $2$n=k$ のとき、(1)が成り立つと仮定する。

このとき、 $2$x_{k+1}=\frac{1}{1+x_k}$
$2$=\frac{1}{1+\frac{a_k}{a_{k+1}}}$
$2$=\frac{a_{k+1}}{a_{k+1}+a_k}$
$2$=\frac{a_{k+1}}{a_{k+2}}$
より、 $2$n=k+1$ のときも(1)は成り立つ。

《1》《2》より、数学的帰納法から、すべての非負整数 $2$n$ について、 $2$x_n=\frac{a_n}{a_{n+1}}$ である。

[Q.E.D.]

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■44132 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数列と極限値

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□投稿者/ らぁ一般人(6回)-(2011/09/21(Wed) 22:35:00)

次に、数列 $2$\{a_n\}$ の一般項を求めます。

ここで、ヒントの出番です。

$2$x=1+{1\over x}$ を満たす $2$x$ は、
$2$x^2-x-1=0$ の解で、それを $2$\alpha,\,\beta$ とすると、解と係数の関係から、 $2$\alpha+\beta=1$ 、 $2$\alpha\beta=-1$ なので、

$2$a_{n+2}=(\alpha+\beta)a_{n+1}-\alpha\beta a_n$ から、

$2$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n)$
$2$a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_n)$
がいえる。

$2$A_n=a_{n+1}-\alpha a_n$ 、 $2$B_n=a_{n+1}-\beta a_n$ とおくと、
$2$A_{n+1}=\beta A_n$
$2$B_{n+1}=\alpha B_n$
から $2$\{A_n\}$ は初項 $2$A_0=1$ 、公比 $2$\alpha$ 、 $2$\{B_n\}$ は初項 $2$B_0=1$ 、公比 $2$\beta$ の等比数列である。

つまり、 $2$A_n=\beta^n$ 、 $2$B_n=\alpha^n$ ( $2$n$ が0から始まる点に注意)

$2$a_{n+1}-\alpha a_n=\beta^n$
$2$a_{n+1}-\beta a_n=\alpha^n$

$2$(\beta-\alpha)a_n=\beta^n-\alpha^n$
$2$a_n=\frac{\beta^n-\alpha^n}{\beta-\alpha}$

$2$\alpha,\,\beta$ は $2$x^2-x-1=0$ の解なので、
$2$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

∴ $2$a_n=\frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n}{\sqrt{5}}$

計算間違いがあるかもしれないので、確かめたうえで。

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■44133 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 数列と極限値

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□投稿者/ らぁ一般人(7回)-(2011/09/21(Wed) 22:54:32)

さて、
$2$x_n=\frac{a_n}{a_{n+1}}$
$2$=\frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n}{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}}$
$2$=\frac{2(1+\sqrt{5})^n-2(1-\sqrt{5})^n}{(1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}}$
$2$=\frac{2-2(\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}})^n}{(1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})(\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}})^n}$
$2$|\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}|\lt1$ なので、 $2$n\to\infty$ のとき、 $2$(\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}})^n\to0$

∴ $2$\lim_{x\to\infty}x_n=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

計算間違いがあるかもしれないので、確認のうえで

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■44134 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 数列と極限値

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□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(31回)-(2011/09/21(Wed) 23:14:48)

極限を求める"だけ"であれば、大学生ならもっと簡単に求められますが…
るりさんは高校生ですか？

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■44137 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 数列と極限値

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□投稿者/ るり一般人(5回)-(2011/09/22(Thu) 14:43:12)

お返事ありがとうございました。納得できました。

今日教わった方法なんですが、

x[n+1]-α=1/(1+x[n])-1/(1+α)

のようにしてから、

|x[n+1]-α|＜(2/3)・|x[n]-α|　…★

という不等式が作れて、

ここから、

|x[n]-α|＜(2/3)^n|x[0]-α|

がいえて、あとははさみうちを利用するとのことでした。はさみうち以降は納得できたので、不等式を作る目的もわかったのですが、★の不等式の作り方がぜんぜんわかりませんでした。特に2/3はどうやって見つけるんでしょうか？
もしよろしければこちらの方法について教えてください。お願いします。

ちなみに高3です。

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■44138 / inTopicNo.8)

　Re[3]: 数列と極限値

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□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(32回)-(2011/09/22(Thu) 15:42:43)

2011/09/22(Thu) 15:43:16 編集(投稿者)

■No44137に返信(るりさんの記事)

> x[n+1]-α=1/(1+x[n])-1/(1+α)
>
> のようにしてから、
>
> |x[n+1]-α|＜(2/3)・|x[n]-α|　…★
>
> という不等式が作れて、
>

$2$ \large \alpha \ge \frac{1}{2}$ と $2$ \large x_{n} > 0$ を使うのでは？

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