数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 空間図形の切り口 / Page: 0]

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■42753 / inTopicNo.1)

　空間図形の切り口

□投稿者/ マナ　一般人(1回)-(2010/10/02(Sat) 06:46:53)

空間図形の体積を求める問題で、↓のような切り口の面積を考えているんですが、うまく計算できません(とくに積分ができません)。断面積の求め方を教えてください。お願いします。

切り口(ここの不等式に間違いはないと思います)
0≦x≦1
0≦y≦1
(-1+√3)/2≦k≦-1+√2
x≦y≦k
x^2+y^2≦1-2k

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■42754 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 空間図形の切り口

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□投稿者/ X 一般人(15回)-(2010/10/02(Sat) 08:42:51)

0≦x≦1 (A)
0≦y≦1 (B)
(-1+√3)/2≦k≦-1+√2 (C)
x≦y≦k (D)
x^2+y^2≦1-2k (E)
とします。

(E)の境界線である
円 x^2+y^2=1-2k (E)'
と
(D)の境界線の一つ
直線 y=k (D)'
が接するか交点を持たない場合
1-2k≦k
∴1/3≦k (F)
一方
(-1+√3)/2-1/3=(-5+3√3)/6>0
∴(-1+√3)/2>1/3 (G)
(C)(F)(G)より(D)'は領域(E)の外側にありますので(D)(E)より
問題の領域は半径√(1-2k)の円を八等分した扇形となり、断面積は
(1/8)π(1-2k)
となります。

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■42756 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 空間図形の切り口

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□投稿者/ マナ　一般人(2回)-(2010/10/02(Sat) 16:01:14)

xさんへ

お返事ありがとうございました。でもおそらくそれは間違っています。

まず13行目の”1-2k≦k”ですが、これは"√(1-2k)≦k"の間違いですよね？

条件(C)についてですが、これは空間図形のz=kでの切り口を考える際に出てきた場合分けなんですが、円の半径√(1-2k)を大きくしていったときに3つの場合に分かれると思います(0≦k≦(-1+√3)/2、(-1+√3)/2≦k≦-1+√2、-1+√2≦k≦1/2)が、条件(C)はこのうちの真ん中の場合です。

条件(C)の下での切り口は、y=x、x^2+y^2=1-2kの一部、y=k、y軸の4つの図形に囲まれる部分で、扇形にはならないと思います(少なくとも私の図形ではなっていません)。

私の考え違いでしょうか？

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■42757 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 空間図形の切り口

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□投稿者/ X 一般人(16回)-(2010/10/02(Sat) 18:29:28)

2010/10/02(Sat) 21:35:22 編集(投稿者)

＞＞まず13行目の”1-2k≦k”ですが、これは"√(1-2k)≦k"の間違いですよね？
ごめんなさい、その通りです。断面は下のような図になりますね。
この場合、方針としては図のハッチングされた三角形の角度の一つをθと置き断面積をθ、kで表し、
体積を求める積分の計算過程で置換積分を使ってθ、又はkを消去して…
というのが考えられますがかなり計算が煩雑です。
(高校数学の範囲では計算できないと思います。)

質問内容を見る限りでは放物面と四角錘を互い合わせにしたような立体を８等分した立体の
体積を求めたいと見ましたが、xy平面よりもzx平面に平行な平面での断面積を考えて積分
してみてはどうでしょうか？。

732×532 => 250×181

1286011768.jpg/23KB

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■42758 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 空間図形の切り口

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□投稿者/ マナ　一般人(3回)-(2010/10/03(Sun) 00:52:36)

xさんへ

再びお返事ありがとうございました。また問題をきちんと示さず質問してしまい、大変失礼致しました。

【問題】
点P(x,y,z)は、|x|≦1、|y|≦1、|z|≦1を以下の条件を満たしながら動く。

条件
OPは6つの長さ1-x、1-y、1-z、1+x、1+y、1+zのどれよりも長くない

対称性からx≧0かつy≧0かつz≧0かつx≦y≦zと仮定して1/48の体積を求めようと考えました。この時点で1-zが一番短いので、Pの存在範囲は、

0≦x≦1、0≦y≦1、0≦z≦1、x≦y≦z、√(x^2+y^2+z^2)≦1-z

の6個の不等式を満たすことになると思い、それからはz=kでの切り口を上記のように求めようとしました。この解法は通用しないとのことでわからなくなってしまいました。
よろしければ解法を教えていただけないでしょうか？

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■42759 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 空間図形の切り口

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□投稿者/ SP2 一般人(1回)-(2010/10/03(Sun) 05:47:57)

■No42758に返信(マナ　さんの記事)
>
> 再びお返事ありがとうございました。また問題をきちんと示さず質問してしまい、大変失礼致しました。
>
> 【問題】
> 点P(x,y,z)は、|x|≦1、|y|≦1、|z|≦1を以下の条件を満たしながら動く。
>
> 条件
> OPは6つの長さ1-x、1-y、1-z、1+x、1+y、1+zのどれよりも長くない
>

本当に問題文はそれで完全なのですか？
問題文はすべて示してから質問すべきです。（図があるなら図も示すべきです）
こことは違います（また、数学とも違います）が、問題や条件を小出しにして、または途中で変えて、回答する人を困らせる、混乱させるという人がいます。
また、延々質問を長期（数日から数週間）にわたってしつこく繰り返すというのもあります。
時折、このように質問を装いながら迷惑行為を繰り返す人が実際にいますので、失礼とは思いながらも書かせて頂きました。
また、あなたに限りませんが、回答する側が問題に興味がなければ、このような掲示板での質問には、回答義務は一切ないということも留意しておくべきです。

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■42760 / inTopicNo.7)

　Re[1]: 空間図形の切り口

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□投稿者/ X 一般人(17回)-(2010/10/03(Sun) 07:12:24)

>>0≦x≦1、0≦y≦1、0≦z≦1、x≦y≦z、√(x^2+y^2+z^2)≦1-z
に問題は無いと思います。
この第５式を変形し
x^2+y^2≦1-2z
としているようですが、これも問題ありません。

それで断面の切り方ですがNo.42757でも書いたとおり、zx平面に平行な平面である
平面y=k
で切って考えてみるとよいと思います。

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■42761 / inTopicNo.8)

　Re[2]: 空間図形の切り口

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□投稿者/ マナ　一般人(4回)-(2010/10/03(Sun) 14:19:54)

Xさまへ

無事答えが出せました。ありがとうございました！

解決済み!

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