 | 2010/06/28(Mon) 21:53:15 編集(投稿者)
方針は問題ありません。只、不定積分の符号が一部誤ってますね。
∫{(logx)/(1+x)^3}dx=-(1/2)(logx)/(1+x)^2+(1/2)∫dx/{x(1+x)^2}
=-(1/2)(logx)/(1+x)^2+(1/2)∫{1/x-1/(1+x)-1/(1+x)^2}dx
=-(1/2)(logx)/(1+x)^2+(1/2){logx-log(1+x)+1/(1+x)}+C
(C:積分定数)
ですので
I=-(1/2)(logx)/(1+x)^2+(1/2){logx-log(1+x)+1/(1+x)}
と置くと
(与式)=[I][0→∞]
さてここからですが
lim[x→∞]I=lim[x→∞]{-(1/2)(logx)/(1+x)^2+(1/2){log{x/(1+x)}+1/(1+x)}}
=lim[x→∞]{-(1/2)(logx)/(1+x)^2+(1/2){log{1/(1/x+1)}+1/(1+x)}}
=0
(lim[x→∞](logx)/(1+x)^2=0の証明は省略します。)
lim[x→+0]I=lim[x→+0]{(1/2){1-1/(1+x)^2}logx-(1/2)log(1+x)+(1/2)/(1+x)}
=…
(第一項の極限は適当に変形すればロピタルの定理が使えます。)
ですので
(与式)=…
|