数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: x^2y''-5xy'+8y=e^x の求め方 / Page: 0]

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■41443 / inTopicNo.1)

　x^2y''-5xy'+8y=e^x の求め方

□投稿者/ SATY 一般人(9回)-(2010/04/16(Fri) 21:48:40)

同次形 x^2y''-5xy'+8y=0 の基本解を求めようと思ったのですが、どのように進めれば良いのかまったくわかりません。
最近、微分方程式について勉強を始めたところで基本的なことが理解できておりませんが、x^2y''-5xy'+8y=e^x 解いてみようと思ってしまいました。
初学者ですが、宜しくお願い致します。

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■41450 / inTopicNo.2)

　Re[1]: x^2y''-5xy'+8y=e^x の求め方

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□投稿者/ 初学者って、何ですか? 一般人(1回)-(2010/04/17(Sat) 10:04:35)

「x=e^t」とおくと、
y'=・・・=(1/x){dy/(dt)},
y''=・・・=(1/x^2){(d^2)y/(dt^2)-dy/(dt)}となるので、
これらを元の方程式に代入して整理すると、
(d^2)y/(dt^2)-6・dy/(dt)+8y=0となります。
この特性方程式・・・=0を解くと、λ=2,4となり、
一般解はy=C1・e^(2t)+C2・e^(4t)=・・・となります。

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■41453 / inTopicNo.3)

　Re[2]: x^2y''-5xy'+8y=e^x の求め方

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□投稿者/ あつし一般人(3回)-(2010/04/17(Sat) 18:42:46)

■No41450に返信(初学者って、何ですか?さんの記事)
> 「x=e^t」とおくと、
> y'=・・・=(1/x){dy/(dt)},
> y''=・・・=(1/x^2){(d^2)y/(dt^2)-dy/(dt)}となるので、
> これらを元の方程式に代入して整理すると、
> (d^2)y/(dt^2)-6・dy/(dt)+8y=0となります。
> この特性方程式・・・=0を解くと、λ=2,4となり、
> 一般解はy=C1・e^(2t)+C2・e^(4t)=・・・となります。
>
アドバイスいただきまして、誠にありがとうございます。最近、微分方程式を勉強し始めたということで、初学者と書かせていただきました。

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■41557 / inTopicNo.4)

　Re[3]: x^2y''-5xy'+8y=e^x の解

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□投稿者/ prime_132 一般人(13回)-(2010/04/25(Sun) 22:06:14)

念のため、一つの解を挙げておこう。

y = (1/8){1 +(5/3)x -(1/6)(x^2 + x^3)}e^x + (1/8){-2x^2 + (1/6)x^4}Ｅi(x),

x・y ' = {(1/3)x -(1/12)(x^2 + x^3)}e^x + {-(1/2)x^2 + (1/12)x^4}Ｅi(x),

x^2・y " = {-(1/4)(x^2 + x^3)}e^x + {-(1/2)x^2 + (1/4)x^4}Ｅi(x),

ここに、Ｅi(x) = ∫[-∞,x] e^(t')/t' dt' です。　

〔補題〕
m≧2 のとき
　∫(e^x)/(x^m) dx = -{1/(m-1)!} Σ[k=1,m-1] (k-1)!(e^x)/(x^k) + {1/(m-1)!}Ｅi(x),

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E7%A9%8D%E5%88%86
http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/ExpIntegralEi/introductions/ExpIntegrals/

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■41560 / inTopicNo.5)

　Re[4]: x^2y''-5xy'+8y=e^x の求め方

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□投稿者/ prime_132 一般人(16回)-(2010/04/26(Mon) 02:57:23)

さて、解の求め方ですが、

定数λに対して
　x(d/dx) - λ = x^(1+λ) (d/dx) x^(-λ),

∴　x^2･(d/dx)^2 + (1-λ1-λ2)x(d/dx) + (λ1･λ2) = {x(d/dx) - λ1}{x(d/dx) - λ2}
　　= x^(1+λ1) (d/dx) x^(1-λ1+λ2) (d/dx) x^(-λ2),

∴　(左辺) = x^(1+λ1)･(d/dx) {x^(1-λ1+λ2)･ (d/dx)[x^(-λ2)･y(x)]},

これから y(x) を解き出して
　y(x) = x^λ2･∫[?,x] {x'^(-1+λ1-λ2)･∫[?,x'] x"^(-1-λ1)･右辺(x") dx"} dx',

* 本問では (λ1,λ2) = (2,4), 右辺(x) = e^x,

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■41572 / inTopicNo.6)

　Re[2]: x^2y''-5xy'+8y=e^x の求め方

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□投稿者/ SATY 一般人(18回)-(2010/04/26(Mon) 15:43:41)

■No41560に返信(prime_132さんの記事)
> さて、解の求め方ですが、
>
> 定数λに対して
> 　x(d/dx) - λ = x^(1+λ) (d/dx) x^(-λ),
>
> ∴　x^2･(d/dx)^2 + (1-λ1-λ2)x(d/dx) + (λ1･λ2) = {x(d/dx) - λ1}{x(d/dx) - λ2}
> 　　= x^(1+λ1) (d/dx) x^(1-λ1+λ2) (d/dx) x^(-λ2),
>
> ∴　(左辺) = x^(1+λ1)･(d/dx) {x^(1-λ1+λ2)･ (d/dx)[x^(-λ2)･y(x)]},
>
> これから y(x) を解き出して
> 　y(x) = x^λ2･∫[?,x] {x'^(-1+λ1-λ2)･∫[?,x'] x"^(-1-λ1)･右辺(x") dx"} dx',
>
> * 本問では (λ1,λ2) = (2,4), 右辺(x) = e^x,

prime_132様ありがとうございます。じっくり考えてみたいと思います。

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