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■41367 / inTopicNo.1) 　e^x > Σ[k=0→n](x^k/k !) の証明について
  ▼■
□投稿者/ SATY 一般人(4回)-(2010/04/07(Wed) 21:00:58)
    e^x > Σ[k=0→n](x^k/k !) の証明です。
    「x>0のとき、任意のn∈Nに対して、e^x>Σ[k=0→n]x^k/k !が成り立つことをTaylorの定理を用いずに示せ。」という問題です。Taylorの定理を使わない場合、どのように証明すればよろしいのでしょうか？
    宜しくお願い致します。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■41375 / inTopicNo.2) 　Re[1]: e^x > Σ[k=0→n](x^k/k !) の証明について
□投稿者/ サボテン 付き人(66回)-(2010/04/08(Thu) 09:25:02)
    例えば、帰納法で証明します。

    g_n(x)≡e^x - Σ[k=0→n](x^k/k !)

    と定義します。

    g_k(x)>0の時、g_(k+1)(x)>0を証明します。

    g_(k+1)(0)=0, dg_(k+1)/dx=g_k(x)>0

    より、x>0でg_(k+1)(x)>0となります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■41378 / inTopicNo.3) 　Re[2]: e^x > Σ[k=0→n](x^k/k !) の証明について
□投稿者/ SATY 一般人(6回)-(2010/04/08(Thu) 17:44:26)
    ■No41375に返信(サボテンさんの記事)
    > 例えば、帰納法で証明します。
    >
    > g_n(x)≡e^x - Σ[k=0→n](x^k/k !)
    >
    > と定義します。
    >
    > g_k(x)>0の時、g_(k+1)(x)>0を証明します。
    >
    > g_(k+1)(0)=0, dg_(k+1)/dx=g_k(x)>0
    >
    > より、x>0でg_(k+1)(x)>0となります。

    サボテン様ありがとうございます。なんとか理解することができました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■41543 / inTopicNo.4) 　Re[3]: e^x > Σ[k=0→n](x^k/k !) の証明について
□投稿者/ prime_132 一般人(12回)-(2010/04/25(Sun) 05:40:06)

    g_n(x) = ∫[0→x] g_(n-1)(y) dy,
    より
    g_n(x) = e^x - Σ[k=0,n] (x^k / k!)
    　= ∫[0→x] ∫[0→y_n] ････ ∫[0→y_1] e^(y_0) dy_0 dy_1 ･････ dy_n
    　> 0,

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■41573 / inTopicNo.5) 　Re[3]: e^x > Σ[k=0→n](x^k/k !) の証明について
□投稿者/ SATY 一般人(19回)-(2010/04/26(Mon) 15:46:15)
    ■No41543に返信(prime_132さんの記事)
    >
    > g_n(x) = ∫[0→x] g_(n-1)(y) dy,
    > より
    > g_n(x) = e^x - Σ[k=0,n] (x^k / k!)
    > 　= ∫[0→x] ∫[0→y_n] ････ ∫[0→y_1] e^(y_0) dy_0 dy_1 ･････ dy_n
    > 　> 0,
    >

    prime_132様ありがとうございます。じっくり考えてみたいと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/


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