数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 三角比の計算、不等式 / Page: 0]

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■40903 / inTopicNo.1)

　三角比の計算、不等式

□投稿者/ zooooomo 一般人(1回)-(2010/02/18(Thu) 21:45:01)

Ｑ１、二つの式からθを消去して、a,bの関係式を求めよ。

tanθ＋sinθ＝a
tanθ－sinθ＝b

という問題で

sinθ＝○,cosθ＝●

を求めて

sinθ^2+cosθ^2＝１に代入して、a,bの関係式/a,bの関係式=1…（Ⅰ）を答えにしたのですが、

答えは　tanθ^2＋１＝１/cos^2 に代入して,

a,bの関係式 {(Ⅰ)を展開したもの}

を求めていました。

自分の答え方でも２次試験で正解になるでしょうか？

Ｑ２、絶対値ｘ＜ｐ、絶対値ｙ＜ｑのとき、絶対値ｑｘ＋ｐｙ＜ｐｑ＋ｘｙを示せ。

という問題で、

絶対値ｘ＜ｐを－ｐ＜ｘ＜ｐ、絶対値ｙ＜ｑを－ｑ＜ｙ＜ｑ、…①

絶対値ｑｘ＋ｐｙ＜ｐｑ＋ｘｙを－（ｐｑ＋ｘｙ）＜ｑｘ＋ｐｙ＜ｐｑ＋ｘｙ…＊

と展開して＊の左右の不等式を①で示して答えとしたのですが、

合っていますか？

以上の二つについて教えてください。

ちなみにこの問題は、岐阜大学　２００７年度　前期　数学　の問題です。

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■40904 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角比の計算、不等式

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□投稿者/ miyup 大御所(1033回)-(2010/02/18(Thu) 23:44:12)

■No40903に返信(zooooomoさんの記事)
> Ｑ１、二つの式からθを消去して、a,bの関係式を求めよ。
> tanθ＋sinθ＝a
> tanθ－sinθ＝b
> という問題で
> sinθ＝○,cosθ＝●
> を求めて
> sinθ^2+cosθ^2＝１に代入して、a,bの関係式/a,bの関係式=1…（Ⅰ）を答えにしたのですが、
> 答えは　tanθ^2＋１＝１/cos^2 に代入して,
> a,bの関係式 {(Ⅰ)を展開したもの}
> を求めていました。
> 自分の答え方でも２次試験で正解になるでしょうか？

sinθ^2+cosθ^2＝１から tanθ^2＋１＝１/cos^2θ が導かれますので、ＯＫです。

> Ｑ２、|ｘ|＜ｐ、|ｙ|＜ｑのとき、|ｑｘ＋ｐｙ|＜ｐｑ＋ｘｙを示せ。
> という問題で、
> |ｘ|＜ｐを－ｐ＜ｘ＜ｐ、|ｙ|＜ｑを－ｑ＜ｙ＜ｑ、…①
> |ｑｘ＋ｐｙ|＜ｐｑ＋ｘｙを－（ｐｑ＋ｘｙ）＜ｑｘ＋ｐｙ＜ｐｑ＋ｘｙ…＊
> と展開して＊の左右の不等式を①で示して答えとしたのですが、

考え方としてはよいですが
どのように示したのかが不明なので、正しいかどうかの判断ができません。

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■40905 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 三角比の計算、不等式

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□投稿者/ zooooomo 一般人(2回)-(2010/02/19(Fri) 00:26:41)

＞sinθ^2+cosθ^2＝１から tanθ^2＋１＝１/cos^2θ が導かれますので、ＯＫです。

ということは展開せず、a,bの関係式/a,bの関係式=1　で終わらしても正解ということですか？

－（ｐｑ＋ｘｙ）＜ｑｘ＋ｐｙ＜ｐｑ＋ｘｙ…＊

を　－（ｐｑ＋ｘｙ）＜ｑｘ＋ｐｙ　と　ｑｘ＋ｐｙ＜ｐｑ＋ｘｙ
とに分けて、

ｑｘ＋ｐｙ－{－（ｐｑ＋ｘｙ）} ＞０
ｑｘ＋ｐｙ＋ｐｑ＋ｘｙ＞０
ｐ（ｙ＋ｑ）＋ｘ（ｙ＋ｑ）＞０
（ｐ＋ｘ）（ｙ＋ｑ）＞０…（１）

－ｐ＜ｘ＜ｐ、－ｑ＜ｙ＜ｑより（１）は成り立つ。

ｑｘ＋ｐｙ＜ｐｑ＋ｘｙも同様に計算式を書いて・・・

ｐｑ＋ｘｙ－（ｑｘ＋ｐｙ）＞０
省略
（ｑ－ｙ）（ｐ－ｘ）＞０…（２）

－ｐ＜ｘ＜ｐ、－ｑ＜ｙ＜ｑより（２）は成り立つ。

以上より・・・　という風にまとめて

絶対値ｘ＜ｐ、絶対値ｙ＜ｑのとき、絶対値ｑｘ＋ｐｙ＜ｐｑ＋ｘｙ

と書く感じです。

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■40911 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 三角比の計算、不等式

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□投稿者/ miyup 大御所(1036回)-(2010/02/19(Fri) 17:30:31)

2010/02/19(Fri) 17:52:12 編集(投稿者)

■No40905に返信(zooooomoさんの記事)
> ということは展開せず、a,bの関係式/a,bの関係式=1 で終わらしても正解ということですか？

解法としては問題ありません。
最後の式の形は分数の形より分母をはらった形の方がいいような気がします。
（分母が０になる可能性があるときは、分数の形だけだとまずいと思います）
また分母をはらうことによって、関係式がもっと単純な式になることもあります。

> －（ｐｑ＋ｘｙ）＜ｑｘ＋ｐｙ＜ｐｑ＋ｘｙ…＊
>
> を　－（ｐｑ＋ｘｙ）＜ｑｘ＋ｐｙ　と　ｑｘ＋ｐｙ＜ｐｑ＋ｘｙ
> とに分けて、
>
> ｑｘ＋ｐｙ－{－（ｐｑ＋ｘｙ）} ＞０
> ｑｘ＋ｐｙ＋ｐｑ＋ｘｙ＞０
> ｐ（ｙ＋ｑ）＋ｘ（ｙ＋ｑ）＞０
> （ｐ＋ｘ）（ｙ＋ｑ）＞０…（１）
>
> －ｐ＜ｘ＜ｐ、－ｑ＜ｙ＜ｑより（１）は成り立つ。
>
> ｑｘ＋ｐｙ＜ｐｑ＋ｘｙも同様に計算式を書いて・・・

２つの不等式に分けて証明すること自体は問題ありませんが

> ｑｘ＋ｐｙ－{－（ｐｑ＋ｘｙ）} ＞０
> ｑｘ＋ｐｙ＋ｐｑ＋ｘｙ＞０
> ｐ（ｙ＋ｑ）＋ｘ（ｙ＋ｑ）＞０
> （ｐ＋ｘ）（ｙ＋ｑ）＞０…（１）

の部分は証明になっていませんので、点数がありません。

答案例
　ｑｘ＋ｐｙ－{－（ｐｑ＋ｘｙ）}
＝ｑｘ＋ｐｙ＋ｐｑ＋ｘｙ
＝ｐ（ｙ＋ｑ）＋ｘ（ｙ＋ｑ）
＝（ｐ＋ｘ）（ｙ＋ｑ）…①
　ここで－ｐ＜ｘ＜ｐ、－ｑ＜ｙ＜ｑより
　ｐ＋ｘ＞０、ｙ＋ｑ＞０
よって、①＞０である。
以上より
　－（ｐｑ＋ｘｙ）＜ｑｘ＋ｐｙ
は成り立つ。

答案例
　－（ｐｑ＋ｘｙ）＜ｑｘ＋ｐｙ
⇔ｑｘ＋ｐｙ－{－（ｐｑ＋ｘｙ）} ＞０
⇔ｑｘ＋ｐｙ＋ｐｑ＋ｘｙ＞０
⇔ｐ（ｙ＋ｑ）＋ｘ（ｙ＋ｑ）＞０
⇔（ｐ＋ｘ）（ｙ＋ｑ）＞０…①
より、①が成り立つことを示せばよい。　←元の式と①が同値であることを明示する
　ここで－ｐ＜ｘ＜ｐ、－ｑ＜ｙ＜ｑより
　ｐ＋ｘ＞０、ｙ＋ｑ＞０
よって、①は成り立つ。
以上より、
　－（ｐｑ＋ｘｙ）＜ｑｘ＋ｐｙ
は成り立つ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■40913 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 三角比の計算、不等式

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□投稿者/ zooooomo 一般人(4回)-(2010/02/19(Fri) 19:50:12)