数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: ２次関数 / Page: 0]

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■40134 / inTopicNo.1)

　２次関数

□投稿者/ Fun 一般人(1回)-(2009/12/04(Fri) 02:32:29)

2009/12/04(Fri) 04:03:11 編集(投稿者)
2009/12/04(Fri) 04:02:42 編集(投稿者)

次のような数学ⅠAの問題です。どうかご教授下さい。

問
aを実定数とするとき以下に答えよ。
C1:y=-x^2-2x+7
C2:y=x^2-2ax+a^2+2a+8=(x-a)^2+2a+8

aがすべての実数値をとって変わるとき、C2頂点（a,2a+8）は直線ｙ＝2x+8上を動くことが分かる。また、２つの放物線C1,C2はaが（-3-2√２以上 -3＋2√２以下）の範囲のとき共有点を持つが、この範囲内においてC2がｙ＝2x+7に接しながら動くとき、C1とC2の共有点のｘ座標は？

a＝（　）のとき最大値は（　）、a＝（　）のとき最小値は（　）をとる。

上の()内についてお願いします。

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■40140 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ２次関数

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□投稿者/ すっとこどっこい付き人(78回)-(2009/12/04(Fri) 19:06:07)

放物線C2が直線y＝2x＋7に接しながら動くとき、
放物線C2は直線y＝2x＋7の線上または上側に位置するので、
2つの放物線C1, C2の共有点も直線y＝2x＋7の線上または上側に位置し、
放物線C1の、直線y＝2x＋7の線上または上側の部分が、
2つの放物線C1, C2の共有点が存在する範囲となる。
　　　　↑　まず放物線C1と直線y＝2x＋7のグラフをかき、
　　　　　　放物線C2のグラフをいくつかかいてみることで確認できます。

放物線C1と直線y＝2x＋7の共有点は(＿, ＿), (＿, ＿)なので、
2つの曲線C1, C2の共有点のx座標の値の範囲は＿≦x≦＿となり、
共有点が点(＿, ＿)のときに最大値x＝＿で、
　このとき、共有点のx, y座標を放物線C2の方程式に代入することにより、a＝＿となる。
共有点が点(＿, ＿)のときに最小値x＝＿で、
　このとき、共有点のx, y座標を放物線C2の方程式に代入することにより、a＝＿となる。

考え方は以上の通りですが、
放物線C1と直線y＝2x＋7の共有点が求める2つの共有点ということです。

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■40149 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ２次関数

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□投稿者/ Fun 一般人(2回)-(2009/12/05(Sat) 01:27:36)

分かりました。

> 放物線C1と直線y＝2x＋7の共有点は(０,７), (-4, -1)なので、
> 2つの曲線C1, C2の共有点のx座標の値の範囲は-4≦x≦0となり、
> 共有点が点(0, 7)のときに最大値x＝0で、
> 　このとき、共有点のx, y座標を放物線C2の方程式に代入することにより、a＝-1となる。
> 共有点が点(-4, -1)のときに最小値x＝-4で、
> 　このとき、共有点のx, y座標を放物線C2の方程式に代入することにより、a＝-5となる。

　C2の頂点が交点（-4,-1）で交わるときに最小値をとるということですね。イメージできました。
ありがとうございました。

実ははじめに、y=2x+7と接しながらというで、これを接線として考えました。C2よりｙ’＝2x-2aが傾き2に等しいとおき、ｘ=a+1という関係からC１、C2に共有点の持つ範囲より、-2-√2以上-2+√2以下という感じです。
どこがおかしいのでしょうか、すみません。
　今後の為に勘違いしているところの指摘をお願いいたします。
　

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■40151 / inTopicNo.4)

　Re[3]: ２次関数

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□投稿者/ Fun 一般人(3回)-(2009/12/05(Sat) 08:57:14)

■No40149に返信(Funさんの記事)
> 分かりました。
>
>>放物線C1と直線y＝2x＋7の共有点は(０,７), (-4, -1)なので、
>>2つの曲線C1, C2の共有点のx座標の値の範囲は-4≦x≦0となり、
>>共有点が点(0, 7)のときに最大値x＝0で、
>>　このとき、共有点のx, y座標を放物線C2の方程式に代入することにより、a＝-1となる。
>>共有点が点(-4, -1)のときに最小値x＝-4で、
>>　このとき、共有点のx, y座標を放物線C2の方程式に代入することにより、a＝-5となる。
>
> 　C2の接点である右端が交点（-4,-1）で交わるときに最小値をとるということですね。イメージできました。
> ありがとうございました。
>
> 実ははじめに、y=2x+7と接しながらというで、これを接線として考えました。C2よりｙ’＝2x-2aが傾き2に等しいとおき、ｘ=a+1という関係からC１、C2に共有点の持つ範囲より、-2-√2以上-2+√2以下という感じです。
> どこがおかしいのでしょうか、すみません。
> 　今後の為に勘違いしているところの指摘をお願いいたします。
> 　

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■40152 / inTopicNo.5)

　Re[3]: ２次関数

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□投稿者/ すっとこどっこい付き人(79回)-(2009/12/05(Sat) 13:47:18)

2009/12/05(Sat) 23:20:58 編集(投稿者)

> C2の頂点が交点（-4,-1）で交わるときに最小値をとるということですね。

少し違っています。
「放物線C2の頂点」ではなくて、「放物線C2と直線y＝2x＋7の接点」です。
放物線C2と直線y＝2x＋7が接するとき、その接点は放物線C2の頂点ではありません。

> 実ははじめに、y=2x+7と接しながらというで、これを接線として考えました。
> C2よりｙ’＝2x-2aが傾き2に等しいとおき、ｘ=a+1という関係から
> C１、C2に共有点の持つ範囲より、-2-√2以上-2+√2以下という感じです。
> どこがおかしいのでしょうか、すみません。
> 今後の為に勘違いしているところの指摘をお願いいたします。

－3－2√2≦a≦－3＋2√2は、2つの放物線C1, C2が共有点を持つための条件で、
x＝a＋1は、放物線C2と直線y＝2x＋7の接点のx座標です。

ですから、
－3－2√2≦a≦－3＋2√2とx＝a＋1から得られる－2－2√2≦x≦－2＋2√2は、
『「放物線C1と共有点をもつ放物線C2」が「直線y＝2x＋7」と接するとき』の、
『放物線C2と直線y＝2x＋7の「接点のx座標の範囲」』を表しています。

この「接点のx座標の範囲」は、
2つの放物線C1とC2の「共有点のx座標の範囲」ではなく、
2つの放物線C1とC2の「共有点のx座標の範囲」を検証するための材料です。

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■40153 / inTopicNo.6)

　Re[3]: ２次関数

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□投稿者/ すっとこどっこい付き人(80回)-(2009/12/05(Sat) 14:15:06)

2009/12/08(Tue) 11:42:17 編集(投稿者)

※　ところどころ記述にミスがありましたので、修正しています。

放物線C1と直線y＝2x＋7のグラフをかき、
放物線C2のグラフを、直線y＝2x＋7との接点のx座標が－2－2√2≦x≦－2＋2√2である範囲で
左から右へと少しずつスライドさせて検証してみましょう。

放物線C2と直線y＝2x＋7の接点のx座標をx, 2つの放物線C1, C2の共有点のx座標をα, β(α≦β)すると、

x＝－2－2√2の場合、a＝－3－2√2で、
　　共有点は1個(放物線C2と直線y＝2x＋7の接点の右側)存在し、そのx座標は－4＜α＜0
－2－2√2＜x＜－4の場合、－3－2√2＜a＜－5で、
　　共有点は2個(ともに放物線C2と直線y＝2x＋7の接点の右側)存在し、そのx座標は－4＜α＜β＜0
x＝－4の場合、a＝－5で、
　　共有点は2個(放物線C2と直線y＝2x＋7の接点とその右側)存在し、そのx座標はα＝－4と－4＜β＜0
－4＜x＜0の場合、－5＜a＜－1で、
　　共有点は2個(放物線C2と直線y＝2x＋7の接点の左側と右側)存在し、そのx座標は－4＜α＜β＜0
x＝0の場合、a＝－1で、
　　共有点は2個(放物線C2と直線y＝2x＋7の接点とその左側)存在し、そのx座標は－4＜α＜0とβ＝0
0＜x＜－2＋2√2の場合、－1＜a＜－3＋2√2で、
　　共有点は2個(ともに放物線C2と直線y＝2x＋7の接点の左側)存在し、そのx座標は－4＜α＜β＜0
x＝－2＋2√2の場合、a＝－3＋2√2で、
　　共有点は1個(放物線C2と直線y＝2x＋7の接点の左側)存在し、そのx座標は－4＜α＜0

添付のグラフを参考にして下さい。
直線y＝2x＋7上の青色の●－－－－●の部分(直線)が、
『「放物線C1と共有点をもつ放物線C2」が「直線y＝2x＋7」と接するとき』の、
『放物線C2と直線y＝2x＋7の「接点が存在する範囲(軌跡)」』です。
放物線C1上の赤色の●－－－－●の部分(曲線)が、
『「放物線C1と共有点をもつ放物線C2」が「直線y＝2x＋7」と接するとき』の、
『放物線C1と放物線C2の「共有点が存在する範囲(軌跡)」』です。

この2つのx座標の範囲(青:－2－2√2≦x≦－2＋2√2, 赤:－4≦x≦0)から、
「接点のx座標の範囲」と「共有点のx座標の範囲」は一致しません。

560×530 => 250×236

40134.gif/10KB

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■40176 / inTopicNo.7)

　Re[4]: ２次関数

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□投稿者/ Fun 一般人(4回)-(2009/12/06(Sun) 03:45:29)

とても親切にグラフまでつけて頂きありがとうございました。とても便利ですね。
また、二つの範囲の違いもはっきりしとてもすっきりいたしました。
ここで大きな勘違いをしていたのですね。
ありがとうございました。
今回はとても勉強になりました。ありがとうございました。

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