数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 積分part２ / Page: 0]

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■38593 / inTopicNo.1)

　積分part２

□投稿者/ kaeru 付き人(80回)-(2009/06/08(Mon) 17:40:10)

f［0］(x)=∫［0→x］1／(1+t)dt(x≧0)とし、正の整数nに対して、
f［n］(x)=(-1)^n∫［0→x］t^n／(1+t)dt(x≧0)とおく。
(1)f[o](x)を求めよ。
(2)すべて負でない整数nに対して、不等式｜f[n](x)｜≦x^(n+1)／n+1が成り立ことを示せ。　　
(3)漸化式f[n](x)=(-1)^n×x^n/n+f[n-1](x)(n=1,2…)を示せ。

(1)は積分法でf[0](x)=(x^2+2x)/(1+x)^2となったのですが、合っているのでしょうか。
(2)(3)は解き方がわかりません。
どうかお願いします。

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■38595 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分part２

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□投稿者/ miyup 大御所(849回)-(2009/06/08(Mon) 22:15:59)

2009/06/08(Mon) 22:27:20 編集(投稿者)

■No38593に返信(kaeruさんの記事)
> f［0］(x)=∫［0→x］1／(1+t)dt(x≧0)とし、正の整数nに対して、
> f［n］(x)=(-1)^n∫［0→x］t^n／(1+t)dt(x≧0)とおく。
> (1)f[0](x)を求めよ。
> 　　　f[0](x)=(x^2+2x)/(1+x)^2となったのですが、合っているのでしょうか。

∫1/(1+t) dt＝log|1+t|+C を使用

> (2)すべて負でない整数nに対して、不等式｜f[n](x)｜≦x^(n+1)／n+1が成り立ことを示せ。

x≧0 より t≧0 としてよい。このとき 0≦t^n/(1+t)≦t^n より
0≦∫[0→x]t^n/(1+t) dt≦∫[0→x]t^n dt

> (3)漸化式f[n](x)=(-1)^n×x^n/n+f[n-1](x)(n=1,2…)を示せ。

f[n](x)-f[n-1](x) を計算する

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■38598 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分part２

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□投稿者/ kaeru 付き人(82回)-(2009/06/08(Mon) 22:51:35)

(2)がよくわからないのですが…
(3)は、∫[0→x]t^n/(1+t)dtの積分の方法がわからないのですが…

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■38604 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 積分part２

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□投稿者/ miyup 大御所(853回)-(2009/06/08(Mon) 23:34:51)

2009/06/08(Mon) 23:59:17 編集(投稿者)

■No38598に返信(kaeruさんの記事)
> (3)は、∫[0→x]t^n/(1+t)dtの積分の方法がわからないのですが…

積分する式は
f[n](x)-f[n-1](x)
＝(-1)^n∫[0→x]t^n/(1+t)dt-(-1)^(n-1)∫[0→x]t^(n-1)/(1+t)dt
＝(-1)^n∫[0→x]{t^n/(1+t)+t^(n-1)/(1+t)}dt
です。

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■38605 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 積分part２

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□投稿者/ kaeru 付き人(86回)-(2009/06/08(Mon) 23:49:45)

>
> 積分する式は
> f[n](x)-f[n-1](x)
> ＝(-1)^n∫[0→x]t^n/(1+t)dt-(-1)^(n-1)∫[0→x]t^(n-1)/(1+t)dt
> ＝(-1)^n∫[0→x]{t^n/(1+t)dt+t^(n-1)/(1+t)}dt
> の部分で
{t^n/(1+t)dt-t^(n-1)/(1+t)}
ではありませんか。

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■38606 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 積分part２

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□投稿者/ miyup 大御所(854回)-(2009/06/09(Tue) 00:00:11)

■No38605に返信(kaeruさんの記事)
>
>>
>>積分する式は
>>f[n](x)-f[n-1](x)
>>＝(-1)^n∫[0→x]t^n/(1+t)dt-(-1)^(n-1)∫[0→x]t^(n-1)/(1+t)dt
>>＝(-1)^n∫[0→x]{t^n/(1+t)+t^(n-1)/(1+t)}dt
>>の部分で
> {t^n/(1+t)-t^(n-1)/(1+t)}
> ではありませんか。

(-1)^nでくくれば＋になります。

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■38607 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 積分part２

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□投稿者/ kaeru 付き人(87回)-(2009/06/09(Tue) 00:17:49)

f[n](x)-f[n-1](x)
＝(-1)^n∫[0→x]t^n/(1+t)dt-(-1)^(n-1)∫[0→x]t^(n-1)/(1+t)dt
＝(-1)^n∫[0→x]{t^n/(1+t)+t^(n-1)/(1+t)}dt
の
その後のt^n/(1+t)dxの積分はどのようにしてやればいいのでしょうか。

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■38610 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 積分part２

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□投稿者/ miyup 大御所(855回)-(2009/06/09(Tue) 10:23:43)

2009/06/09(Tue) 10:25:46 編集(投稿者)

■No38607に返信(kaeruさんの記事)
> f[n](x)-f[n-1](x)
> ＝(-1)^n∫[0→x]t^n/(1+t)dt-(-1)^(n-1)∫[0→x]t^(n-1)/(1+t)dt
> ＝(-1)^n∫[0→x]{t^n/(1+t)+t^(n-1)/(1+t)}dt
> の
> その後のt^n/(1+t)の積分はどのようにしてやればいいのでしょうか。

t^n/(1+t)の積分はしません。

t^n/(1+t)+t^(n-1)/(1+t)
＝t^(n-1)｛t/(1+t)+1/(1+t)}
＝t^(n-1)

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■38614 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 積分part２

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□投稿者/ kaeru 付き人(90回)-(2009/06/09(Tue) 20:05:18)

すいませんありがとうございました。

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