数学ナビゲーター掲示板
(現在 過去ログ4 を表示中)

HOME HELP 新規作成 新着記事 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■38334 / inTopicNo.1) 　2階線形微分方程式の一般解
  ▼■
□投稿者/ army 一般人(20回)-(2009/05/20(Wed) 16:40:36)
    d^2y/dx^2-(a+b)(dy/dx)+aby＝0 (ただしdyやdxは微分演算子で、a≠b)

    なのですが、模範解法には以下のようになっていました。


    〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
    d/dx=Dとおく。すると
    (D-a)(D-b)y=0
    (D-a)(Dy-by)=0
    ここで
    (Dy-by)=z
    とおくと、
    (D-a)z=0
    これはただちに解けて
    z=A*exp(ax)　（Aは定数）　　　　

    同様にaとbを入れ替えて
    w=B*exp(bx)　　　　　　　　　　　　←←←

    以上からy=z+w=A*exp(ax)+B*exp(bx)
    〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜



    ←←←の所まではわかるんです。なぜ最終的なyがzとwの和になるのかが分からないのです。てっきり求めたzやwを、例えばzなら(Dy-by)=zに代入してあらためて
    yを求めるのかと思ったのですが、そうすると
    dy/dx-by-A*exp(ax)=0
    となるので手が止まりました。
    これって解けるのですか。
    分かる方教えてください。お願い致します。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■38335 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 2階線形微分方程式の一般解
□投稿者/ サボテン 大御所(386回)-(2009/05/20(Wed) 16:51:48)
    z,wは
    (D-a)(D-b)z=(D-b)(D-a)z=0
    (D-a)(D-b)w=(D-a)(D-b)w=0
    より
    方程式の解になります。
    z,wは2つの1次独立な解なので、この線形和が一般解になります。

    dy/dx-by-A*exp(ax)=0
    は解けます。
    一般的にdy/dx+f(x)y=g(x)という微分方程式には解の公式があります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■38347 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 2階線形微分方程式の一般解
□投稿者/ army 一般人(21回)-(2009/05/21(Thu) 09:26:47)
    ■No38335に返信(サボテンさんの記事)
    > z,wは
    > (D-a)(D-b)z=(D-b)(D-a)z=0
    > (D-a)(D-b)w=(D-a)(D-b)w=0
    > より
    > 方程式の解になります。
    > z,wは2つの1次独立な解なので、この線形和が一般解になります。
    >
    > dy/dx-by-A*exp(ax)=0
    > は解けます。
    > 一般的にdy/dx+f(x)y=g(x)という微分方程式には解の公式があります。



    回答ありがとうございます。
    ではy＝z＋wと、dy/dx-by-A*exp(ax)=0の解は同じになるのですか。
    再びお願いいたします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■38348 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 2階線形微分方程式の一般解
□投稿者/ サボテン 大御所(388回)-(2009/05/21(Thu) 14:54:51)
    >ではy＝z＋wと、dy/dx-by-A*exp(ax)=0の解は同じになるのですか。

    同じになります。

    dy/dx-by-A*exp(ax)=0
    の解はy=Cexp(ax)と仮定して代入すると、
    C=A/(a-b)となります。

    一般解はこれに特殊解exp(bx)を定数倍して足して、
    y=Bexp(bx)+Cexp(ax)

    よって同じ形になります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■38356 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 2階線形微分方程式の一般解
□投稿者/ army 一般人(22回)-(2009/05/21(Thu) 20:14:04)
    ■No38348に返信(サボテンさんの記事)
    > >ではy＝z＋wと、dy/dx-by-A*exp(ax)=0の解は同じになるのですか。
    >
    > 同じになります。
    >
    > dy/dx-by-A*exp(ax)=0
    > の解はy=Cexp(ax)と仮定して代入すると、
    > C=A/(a-b)となります。
    >
    > 一般解はこれに特殊解exp(bx)を定数倍して足して、
    > y=Bexp(bx)+Cexp(ax)
    >
    > よって同じ形になります。
    >


    どうもありがとうございました。よく分かりました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/


トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

Mode/　 Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター