数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 微分 / Page: 0]

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■37899 / inTopicNo.1)

　微分

□投稿者/ a 一般人(3回)-(2009/03/25(Wed) 20:20:11)

こんばんは。

３点A(5,1) B(0,6) C (-4,4)と直線L:2x+y=1がある。
(1)L上に点Pをとって、AP+BPを最小にする点Pの座標を求めよ。
(2)L上に点Qをとって、｜AQ-BQ｜を最大にする点Qの座標を求めよ。

(1)は解けたのですが、(2)がわかりません。
よろしくお願いします。

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■37907 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分

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□投稿者/ X 一般人(12回)-(2009/03/26(Thu) 14:20:48)

2009/03/27(Fri) 01:53:06 編集(投稿者)
2009/03/27(Fri) 01:44:03 編集(投稿者)

Q(t,1-2t)
と置くと
AQ=√{(t-5)^2+(1-2t-1)^2}
=√{5(t^2-2t+5)}
BQ=√{t^2+(1-2t-6)^2}
=√{5(t^2+4t+5)}
∴|AQ-BQ|=(√5)|√(t^2+4t+5)-√(t^2-2t+5)|
ここで
f(t)=|AQ-BQ|
と置くと

t≧0のとき
f(t)=(√5){√(t^2+4t+5)-√(t^2-2t+5)}
f'(t)=(√5){(t+2)/√(t^2+4t+5)-(t-1)/√(t^2-2t+5)}
∴このときf'(t)≧0は
(t+2)√(t^2-2t+5)≧(t-1)√(t^2+4t+5)
(I)t≧1のとき
(t^2-2t+5)(t+2)^2≧(t^2+4t+5)(t-1)^2
(t^2+5){(t+2)^2-(t-1)^2}-2t{(t+2)^2+2(t-1)^2}≧0
(6t+3)(t^2+5)-2t(3t^2+6)≧0
(2t+1)(t^2+5)-2t(t^2+2)≧0
2t^3+t^2+10t+5-2t^3-4t≧0
t^2+6t+5≧0
∴このときf'(t)≧0は常に成立。
(II)0≦t<1のとき
このときもf'(t)≧0は常に成立
つまりt≧0のときf(t)は単調増加

t<0のとき
f(t)=-(√5){√(t^2+4t+5)-√(t^2-2t+5)}
f'(t)=-(√5){(t+2)/√(t^2+4t+5)-(t-1)/√(t^2-2t+5)}
∴このときf'(t)≦0は
(t+2)√(t^2-2t+5)≧(t-1)√(t^2+4t+5)
(III)-2≦t<0のとき
f'(t)≦0は常に成立
(IV)t<-2のとき
f'(t)≦0は
0<-(t+2)√(t^2-2t+5)≦-(t-1)√(t^2+4t+5)
∴(t^2-2t+5)(t+2)^2≦(t^2+4t+5)(t-1)^2
∴t^2+6t+5≦0
∴-5≦t≦-1
となるから
-5≦t<-2のときf'(t)≦0

つまりf(t)は-5≦t<0のとき単調減少、t<-5のときに単調増加

更に
lim[t→±∞]f(t)=lim[t→±∞](√5)|√(t^2+4t+5)-√(t^2-2t+5)|
=lim[t→±∞](6|t|√5)/{√(t^2+4t+5)+√(t^2-2t+5)}
=3√5
f(-5)=5√2>3√5

以上よりf(t)の増減表を描くことにより
f(t)はt=-5のとき最大値5√2
を取ることが分かります。
よって求めるQの座標は(-5,11)
となります。

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■37911 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微分

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□投稿者/ miyup 大御所(739回)-(2009/03/26(Thu) 21:27:43)

■No37907に返信(Xさんの記事)
> 2009/03/26(Thu) 14:22:25 編集(投稿者)
> Q(t,1-2t)
> と置くと
> AQ=√{(t-5)^2+(1-2t-1)^2}
> =√{5(t^2-2t+5)}
> BQ=√{t^2+(1-2t-6)^2}
> =√{5(t^2+2t+5)}

BQ=√{5(t^2+4t+5)}

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■37912 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 微分

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□投稿者/ X 一般人(13回)-(2009/03/27(Fri) 00:26:49)

>>miyupさんへ
ご指摘ありがとうございます。

>>aさんへ
ごめんなさい。計算を間違えていましたのでNo.37907を直接修正しました。
但し、この方針は見ての通りかなり煩雑で余りお勧めできません。
又、計算間違いがまだ含まれているかもしれないのでご容赦下さい。

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■37914 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 微分

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□投稿者/ X 一般人(15回)-(2009/03/27(Fri) 02:56:50)

2009/03/27(Fri) 18:41:21 編集(投稿者)

別解(の略解))
直線ABの方程式は
y=-x+6
∴直線ABとLとの交点の座標は(-5,11)
点Qがこの点であるとき|AQ-BQ|=5√2
又、Lとy軸との交点をRとするとその座標は(0,1)
で△ABRは直角二等辺三角形ですので
Rは線分ABの垂直二等分線上の点となっており
|AQ-BQ|=0

ところで点Qが点(-5,11),(0,1)以外の点であるとき、
点Qは点A,Bを焦点とする双曲線上に存在しますので
双曲線の性質により
|AQ-BQ|<AB=5√2
以上から求める点Qの座標は(-5,11)となります。

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■37917 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 微分

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□投稿者/ K.M. 一般人(7回)-(2009/03/27(Fri) 10:23:13)
http://www1.bbiq.jp/k_miyaga/

すぐ上の解とあまりかわりませんが、参考です。

直線ABが直線y=-2x+1 と交わる点をQとすると
AQ-BQ=AB
Q以外のL上の点をQ’とすると、⊿ABQ’について
|AQ’-BQ’|＜AB
直線AB：y=-x+6 と、L：y=-2x+1 の交点が求める点である。
Q(-5,11)

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■37918 / inTopicNo.7)

　Re[1]: 微分

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□投稿者/ a 一般人(4回)-(2009/03/27(Fri) 10:48:06)

わかりました☆
Xさん、miyupさん、K.M.さん、丁寧なご説明、本当にありがとうございました!