□投稿者/ X 一般人(12回)-(2009/03/26(Thu) 14:20:48)
 | 2009/03/27(Fri) 01:53:06 編集(投稿者)
2009/03/27(Fri) 01:44:03 編集(投稿者)
Q(t,1-2t)
と置くと
AQ=√{(t-5)^2+(1-2t-1)^2}
=√{5(t^2-2t+5)}
BQ=√{t^2+(1-2t-6)^2}
=√{5(t^2+4t+5)}
∴|AQ-BQ|=(√5)|√(t^2+4t+5)-√(t^2-2t+5)|
ここで
f(t)=|AQ-BQ|
と置くと
t≧0のとき
f(t)=(√5){√(t^2+4t+5)-√(t^2-2t+5)}
f'(t)=(√5){(t+2)/√(t^2+4t+5)-(t-1)/√(t^2-2t+5)}
∴このときf'(t)≧0は
(t+2)√(t^2-2t+5)≧(t-1)√(t^2+4t+5)
(I)t≧1のとき
(t^2-2t+5)(t+2)^2≧(t^2+4t+5)(t-1)^2
(t^2+5){(t+2)^2-(t-1)^2}-2t{(t+2)^2+2(t-1)^2}≧0
(6t+3)(t^2+5)-2t(3t^2+6)≧0
(2t+1)(t^2+5)-2t(t^2+2)≧0
2t^3+t^2+10t+5-2t^3-4t≧0
t^2+6t+5≧0
∴このときf'(t)≧0は常に成立。
(II)0≦t<1のとき
このときもf'(t)≧0は常に成立
つまりt≧0のときf(t)は単調増加
t<0のとき
f(t)=-(√5){√(t^2+4t+5)-√(t^2-2t+5)}
f'(t)=-(√5){(t+2)/√(t^2+4t+5)-(t-1)/√(t^2-2t+5)}
∴このときf'(t)≦0は
(t+2)√(t^2-2t+5)≧(t-1)√(t^2+4t+5)
(III)-2≦t<0のとき
f'(t)≦0は常に成立
(IV)t<-2のとき
f'(t)≦0は
0<-(t+2)√(t^2-2t+5)≦-(t-1)√(t^2+4t+5)
∴(t^2-2t+5)(t+2)^2≦(t^2+4t+5)(t-1)^2
∴t^2+6t+5≦0
∴-5≦t≦-1
となるから
-5≦t<-2のときf'(t)≦0
つまりf(t)は-5≦t<0のとき単調減少、t<-5のときに単調増加
更に
lim[t→±∞]f(t)=lim[t→±∞](√5)|√(t^2+4t+5)-√(t^2-2t+5)|
=lim[t→±∞](6|t|√5)/{√(t^2+4t+5)+√(t^2-2t+5)}
=3√5
f(-5)=5√2>3√5
以上よりf(t)の増減表を描くことにより
f(t)はt=-5のとき最大値5√2
を取ることが分かります。
よって求めるQの座標は(-5,11)
となります。
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