数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 反復試行の確率 / Page: 0]

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■3774 / inTopicNo.1)

　反復試行の確率

□投稿者/ 武彦一般人(27回)-(2005/09/09(Fri) 00:53:25)

2005/09/09(Fri) 01:05:25 編集(投稿者)

ひとつのつぼの中に、赤、青、黄色、白の4色の球が１個ずつ入っている。
つぼの中の球をよくかきまぜて、玉を一個取り出し、その色を確かめてつぼの中に返すこの操作を4回行うことを１つの試行とするとき
（1）1つの試行ににおいて、赤い玉を2回青い球を2回取り出す確率は？

（2）1つの試行において、4色の球を一回ずつ取り出す確率は？

（3）1つの試行において、取り出した球の色の種類の数をX、同色の球の数の最大数をYとするときXとYの期待値は？

(1)3/128 (2)3/32 (3)Xの値　175/64　Yの値17/8
よろしくお願いします。

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■3784 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 反復試行の確率

▲▼■

□投稿者/ X ファミリー(190回)-(2005/09/09(Fri) 13:40:35)

2005/09/09(Fri) 16:21:20 編集(投稿者)

（1）
求める確率は
(4C2)(1/4)^4=…

（2）
互いに異なる色の４つの玉でできる順列は
4P4[通り]
∴求める確率は
(4P4)(1/4)^4=…
（3）
例えばX=kである確率をP[X=k]と表すとします。
(i)P[X=1]について
全部ある同じ色になる確率は
(1/4)^4
玉の色は4[通り]ですので
P[X=1]=4(1/4)^4=…
(ii)P[X=2]について
まず４種類の色から２種類の色を選ぶ方法は
4C2[通り]
この２種類の色の玉のみを使って問題の試行を考えればよいので
P[X=2]=(4C2){(4C1)(1/4)^4+(4C2)(1/4)^4+(4C3)(1/4)^4}=…
(iii)P[X=3]について
まず４種類の色から３種類の色を選ぶ方法は
4C2[通り]
この３種類の色の玉のみを使って問題の試行を考える訳ですが、この場合いずれか１色の玉が２回出ることになります。
そこで、まずある１色の玉のみが２回出る確率は
{(4P4)/(2P2)}(1/4)^4
これを玉の色の種類の数である
3[通り]
について考えればよいので結局
P[X=3]=(4C3){3・{(4P4)/(2P2)}(1/4)^4}=…
(iv)P[X=4]について
これは（2）と同じで
P[X=4]=(4P4)(1/4)^4=…

又、条件より
P[Y=1]=P[X=4]=…
P[Y=4]=P[X=1]=…
P[Y=3]=(4C2){(4C3)(1/4)^4}=…
P[Y=2]=1-{P[X=1]+P[X=3]+P[X=4]}=…
後はこれらを用いて、期待値の定義に従って計算します。

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■3786 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 反復試行の確率

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□投稿者/ set 一般人(5回)-(2005/09/09(Fri) 16:01:05)

2005/09/09(Fri) 16:08:36 編集(投稿者)
2005/09/09(Fri) 16:06:10 編集(投稿者)

■No3774に返信(武彦さんの記事)
横から失礼します。
(3)の別解です。
(それぞれの確率が等しいので、４回操作は色の玉を並べるような感覚でやってみました。)
取り出した球の色の種類の数をXとして確立を求めてから…
　X＝1のとき、
　　４色のうち１色を選んで、４回操作をおこなう
　　　確率　(4Ｃ1)＊(1/4)^4＝4/256＝1/64
　X＝2のとき
　　４色のうち２色を選んで、４回操作をおこなう
　　(a)１色が２個で、残りの１色も２個の場合
　　　　(4Ｃ2)＊{4!/(2!＊2!}＊(1/4)^4＝36/256＝9/64
　　(b)１色が１個で、残りの１色が３個の場合
　　　　(4Ｃ2)＊{4!/(1!＊3!}＊(1/4)^4＝48/256＝3/16
　　　計　(36/256)＋(48/256)＝84/256＝21/64
　X＝3のとき
　　４色のうち３色を選んで、４回操作をおこなう
　　　　(4Ｃ3)＊[3＊{4!/(1!＊1!＊2!)}]＊(1/4)^4＝144/256＝3/16
　X＝4のとき
　　４色のうち４色を選んで、４回操作をおこなう
　　　確率　(4Ｃ4)＊(4Ｐ4)＊(1/4)^4＝24/256＝3/32
　1＊(1/64)＋2＊(21/64)＋3＊(12/64)＋4＊(6/64)＝175/64

同色の球の数の最大数をYとするときの確率をXを利用して
　Y＝1のとき、
　　X＝4と同じなので、24/256＝3/32
　Y＝2のとき、
　　X＝2の(a)と同じ場合、36/256＝9/64
　　X＝3と同じ場合、144/256＝3/16
　　　計　(36/256)＋(144/256)＝180/256＝45/64
　Y＝3のとき、
　　X＝2の(b)と同じなので、48/256＝3/16
　Y＝4のとき、X＝1と同じなので、1/64
　　X＝1と同じなので、4/256＝1/64
　1＊(6/64)＋2＊(45/64)＋3＊(12/64)＋4＊(1/64)＝136/64＝17/8

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■3797 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 反復試行の確率

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□投稿者/ 武彦一般人(29回)-(2005/09/09(Fri) 22:24:20)

■No3786に返信(setさんの記事)

> 　X＝3のとき
> 　　４色のうち３色を選んで、４回操作をおこなう
> 　　　　(4Ｃ3)＊[3＊{4!/(1!＊1!＊2!)}]＊(1/4)^4＝144/256＝3/16
> 　X＝4のとき
> 　　４色のうち４色を選んで、４回操作をおこなう
> 　　　確率　(4Ｃ4)＊(4Ｐ4)＊(1/4)^4＝24/256＝3/32
> 　1＊(1/64)＋2＊(21/64)＋3＊(12/64)＋4＊(6/64)＝175/64
>
> 同色の球の数の最大数をYとするときの確率をXを利用して
> 　Y＝1のとき、
> 　　X＝4と同じなので、24/256＝3/32
> 　Y＝2のとき、
> 　　X＝2の(a)と同じ場合、36/256＝9/64
> 　　X＝3と同じ場合、144/256＝3/16
> 　　　計　(36/256)＋(144/256)＝180/256＝45/64
> 　Y＝3のとき、
> 　　X＝2の(b)と同じなので、48/256＝3/16
> 　Y＝4のとき、X＝1と同じなので、1/64
> 　　X＝1と同じなので、4/256＝1/64
> 　1＊(6/64)＋2＊(45/64)＋3＊(12/64)＋4＊(1/64)＝136/64＝17/8

X=3のときに
４色のうち３色を選んで、４回操作をおこない　このとき１個の玉が２回でることになるというところまではわかったのですが計算過程を見てみると３という数字が出てきていたのですがそれは何故なんでしょうか？
あとXはわかったのですがYの同色の数の最大数というのはどういうこと何でしょうか？教えてください。

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■3802 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 反復試行の確率

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□投稿者/ set 一般人(6回)-(2005/09/10(Sat) 01:04:05)

2005/09/10(Sat) 01:06:06 編集(投稿者)

■No3797に返信(武彦さんの記事)
> ■No3786に返信(setさんの記事)

●「３という数字」…「１個の玉が２回でることになる」(^^これが読み取ってただけているなら)
　「３という数字」は、この「２回でる１個の玉」を選ぶのに３通り考えられことからです。

●「Yの同色の数の最大数」…以下のように解釈しました。
　４色の玉をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄで表してみると
X＝1　のときは、
　　(Ａ，Ａ，Ａ，Ａ)…などですが、
　　これは、Ａという同種の球が４つあります。
　　　Yの候補として、Ａの４つしかないので、最大値として　Y＝4

X＝2　のときは、
a　(Ａ，Ａ，Ｂ，Ｂ)…など
　　これは、Ａという同種の球が２つと、Ｂという同種の球が２つあります。
　　　Yの候補として、Ａの２、Ｂの２。両方とも同じですので、最大値として　Y＝2
b　(Ａ，Ａ，Ａ，Ｂ)…など
　　これは、Ａという同種の球が３つと、Ｂという同種の球が１つあります。
　　　Yの候補として、Ａの３、Ｂの１。Ａの方が大きいので、最大値として　Y＝3

X＝3　のときは、
　　(Ａ，Ａ，Ｂ，Ｃ)…など
　　これは、Ａという同種の球が２つと、Ｂという同種の球が２つと、Ｃという同種の球が２つあります。
　　　Yの候補として、Ａの２、Ｂの１、Ｃの１。Ａが一番大きいのでので、最大値として　Y＝2

X＝4　のときは、
　　(Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｂ)…など
　　これは、どの種類も１つしかないので、最大値として　Y＝1

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