数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 確率 / Page: 0]

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■37268 / inTopicNo.1)

　確率

□投稿者/ moe 一般人(3回)-(2009/01/02(Fri) 10:01:35)

nを3以上の自然数とし,n人からなるグループUを考える。U内の任意の人が,他の任意の人を知っている確率は,常にpである。
(1)U内に任意の2人について,どちらかが他方を知らない(どちらも他方を知らない場合を含む)確率を求めよ。答えは1-p^2
(2)U内に互いに知り合いであるような2人が存在する確率を求めよ。
　　　答えは1-(1-p^2)^{nC_2}
(3)U内の任意の3人について,互いに知り合いである確率を求めよ。
　　　答えはp^6
(4)U内に互いに知り合いであるような3人が存在する確率を求めよ。

　という問題で
　(2)と(4)で,(2)では1-p^2のnC_2が累乗としてかけてあるのですが、
　(4)では、nC_3*p^6となっていて,累乗ではなく単にnC_3をかけています。その違いはなんでしょうか。

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■37270 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 確率

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(680回)-(2009/01/03(Sat) 08:44:39)

■No37268に返信(moeさんの記事)
> nを3以上の自然数とし,n人からなるグループUを考える。U内の任意の人が,他の任意の人を知っている確率は,常にpである。
> (2)U内に互いに知り合いであるような2人が存在する確率を求めよ。
> 　　　答えは1-(1-p^2)^{nC_2}
> (4)U内に互いに知り合いであるような3人が存在する確率を求めよ。
> 　(4)では、nC_3*p^6となっていて,累乗ではなく単にnC_3をかけています。その違いはなんでしょうか。

というより
なぜ(4)の答えが 1-(1-p^6)^{nC_3} でないのか
を考えた方がよいのでは？

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■37271 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 確率

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□投稿者/ DANDY　U 一般人(33回)-(2009/01/03(Sat) 09:23:37)

(4)の答えは nC_3*p^6 となっているのでしょうか？
仮にｎ＝20 ,ｐ＝1/2　とすると、nC_3*p^6＝1140*(1/64)＝265/16　となってしまいますが・・・・？

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■37272 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 確率

▲▼■

□投稿者/ moe 一般人(4回)-(2009/01/03(Sat) 11:47:50)

■No37270に返信(miyupさんの記事)
> ■No37268に返信(moeさんの記事)
>>nを3以上の自然数とし,n人からなるグループUを考える。U内の任意の人が,他の任意の人を知っている確率は,常にpである。
>> (2)U内に互いに知り合いであるような2人が存在する確率を求めよ。
>>　　　答えは1-(1-p^2)^{nC_2}
>> (4)U内に互いに知り合いであるような3人が存在する確率を求めよ。
>>　(4)では、nC_3*p^6となっていて,累乗ではなく単にnC_3をかけています。その違いはなんでしょうか。
>
> というより
> なぜ(4)の答えが 1-(1-p^6)^{nC_3} でないのか
> を考えた方がよいのでは？

ありがとうございます。
1-p^6というのは,3人についてお互いに知り合いでない確率で,それがnC_3通りあると考えると(2)と全く同じ発想になってしまいます。
どちらかというと(2)の方が私にとっては不自然に思えてしまいます。
大御所さん、もう少し教えて下さい。

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■37273 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 確率

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□投稿者/ DANDY　U 一般人(34回)-(2009/01/03(Sat) 13:20:30)

2009/01/03(Sat) 13:51:33 編集(投稿者)

moeさん、もう一度お聞きしますが
(4)の答えは nC_3*p^6 となっているのでしょうか？

それと、(2)は A1,A2,A3,・・・,Anさんがいるとして
{A1,A2}が互いには知り合わなく、しかも{A1,A2}が互いには知り合わなく、・・・・、しかも{An-1,An}が互いには知り合わない
この場合を除くので　1-(1-p^2)^{nC_2}　で正しいでしょう。

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■37274 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 確率

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□投稿者/ miyup 大御所(681回)-(2009/01/03(Sat) 13:35:41)

■No37272に返信(moeさんの記事)
> どちらかというと(2)の方が私にとっては不自然に思えてしまいます。
> 大御所さん、もう少し教えて下さい。

例えば５人いるとして
互いに知り合いであるような2人が存在する確率
＝1組存在する確率＋2組存在する確率＋…＋10組存在する確率
なので
1－互いに知り合いであるような2人が全く存在しない確率
として求める方が自然です。

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■37275 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 確率

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□投稿者/ moe 一般人(5回)-(2009/01/03(Sat) 16:38:40)

■No37274に返信(miyupさんの記事)
（２）はすっきりしました。ありがとうございました。
しつこくて申し訳ないのですが、(4)で1-(1-p^6)^nC_3でない理由を具体的に説明していただないでしょうか？本当にごめんなさい。

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■37276 / inTopicNo.8)

　Re[2]: 確率

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□投稿者/ moe 一般人(6回)-(2009/01/03(Sat) 16:39:15)

■No37273に返信(DANDY　Uさんの記事)
> 2009/01/03(Sat) 13:51:33 編集(投稿者)
>
> moeさん、もう一度お聞きしますが
> (4)の答えは nC_3*p^6 となっているのでしょうか？
>
> それと、(2)は A1,A2,A3,・・・,Anさんがいるとして
> {A1,A2}が互いには知り合わなく、しかも{A1,A2}が互いには知り合わなく、・・・・、しかも{An-1,An}が互いには知り合わない
> この場合を除くので　1-(1-p^2)^{nC_2}　で正しいでしょう。

（４）の答えは、確かにそうなっています。
>

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■37277 / inTopicNo.9)

　Re[5]: 確率

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□投稿者/ miyup 大御所(682回)-(2009/01/03(Sat) 16:50:17)

2009/01/03(Sat) 17:00:58 編集(投稿者)

■No37275に返信(moeさんの記事)

私は(4)の解答は 1-(1-p^6)^nC_3 ではないかと思います。

私の最初の返信は
間違っているかもしれない解答に説明を与えることより
正しいと思われる解答を考える方が有益ではないかという
意味を込めたものです。

> （２）はすっきりしました。ありがとうございました。
> しつこくて申し訳ないのですが、(4)で1-(1-p^6)^nC_3でない理由を具体的に説明していただないでしょうか？

ですから
それはその解答( nC_3*p^6 )を作った方でないとわかりません。

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■37281 / inTopicNo.10)

　Re[6]: 確率

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□投稿者/ らすかる大御所(488回)-(2009/01/03(Sat) 18:23:44)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

まだ解答には至っていませんが、少なくとも nC_3*p^6 や 1-(1-p^6)^nC_3 は
正しくないと思います。
例えばn=4の場合、「U内に互いに知り合いであるような3人が存在する確率」は
p^12+4C2(p^10-p^12)+4C3{p^6-3(p^10-p^12)-p^12} = p^6(3p^6-6p^4+4)
のようになると思います。

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■37283 / inTopicNo.11)

　Re[6]: 確率

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□投稿者/ moe 一般人(7回)-(2009/01/05(Mon) 08:26:05)

■No37277に返信(miyupさんの記事)
> 2009/01/03(Sat) 17:00:58 編集(投稿者)
>
> ■No37275に返信(moeさんの記事)
>
> 私は(4)の解答は 1-(1-p^6)^nC_3 ではないかと思います。
>
> 私の最初の返信は
> 間違っているかもしれない解答に説明を与えることより
> 正しいと思われる解答を考える方が有益ではないかという
> 意味を込めたものです。
>
>>（２）はすっきりしました。ありがとうございました。
>>しつこくて申し訳ないのですが、(4)で1-(1-p^6)^nC_3でない理由を具体的に説明していただないでしょうか？
>
> ですから
> それはその解答( nC_3*p^6 )を作った方でないとわかりません。

再三のお返事ありがとうございました。
この問題は一昨年の豊橋技術科学大学の問題で、大学のHPに解答が載っているのですが、やはりnC_3p^6となっています。もし、このHPを見られてより具体的な説明をしていただけるのならお返事待っています。

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■37284 / inTopicNo.12)

　Re[7]: 確率

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□投稿者/ miyup 大御所(684回)-(2009/01/05(Mon) 10:44:02)

■No37283に返信(moeさんの記事)
> この問題は一昨年の豊橋技術科学大学の問題で、大学のHPに解答が載っているのですが、やはりnC_3p^6となっています。

問題と解答をみましたが、nC_3p^6 とはなっていませんね。
このように書いてあります。

問題(4)
p=1/√n とするとき…互いに知り合いであるような3人が存在する確率が 1/6 以下であることを示せ。
解答
Uから3人の選び方はnC3通りあるので,m=nC3とおき，選ばれた3人が互いに
知り合いである事象をそれぞれA_i（ただし、i=1,…,m）と表す。
(3)の解答より,3人が互いに知り合いである確率は,その選び方によらず
p^6＝n^(-3)であるから，どのA_iについてもP(A_i)=n^(-3)である。
いま，U内に互いに知り合いであるような3人が存在する確率は
P(A_1∪A_2∪…∪A_m）であるが，
その値はすべてのP(A_i)の和以下であるので，
P(A_1∪A_2∪…∪A_m)≦P(A_1)+P(A_2)+…+P(A_m)=nC3・n^(-3)≦…≦1/6
となる。

P(A_1)+P(A_2)+…+P(A_m)=nC3・p^6 なのであって
P(A_1∪A_2∪…∪A_m)=nC3・p^6 ではありません。

互いに知り合いであるような3人が存在する確率自体を求める問題ではないということです。

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■37285 / inTopicNo.13)

　Re[8]: 確率

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□投稿者/ miyup 大御所(685回)-(2009/01/05(Mon) 11:06:18)

2009/01/05(Mon) 11:08:50 編集(投稿者)

p.s.
問題に
「和事象の確率は,個々の事象の確率の和以下となる」ことを用いよ。
と書いてあります。
これが大きなヒントになっています。

不等式の値を評価する問題なので、実際の確率自体は必要ありません。
というか、実際に確率を出すのが難しい(？)ので、値を評価させる問題になっているのだと思います。

問題をよく読まないと誤解して間違ったり解けずに時間オーバーになったりしますので気をつけましょう。

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■37286 / inTopicNo.14)

　Re[9]: 確率

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□投稿者/ moe 一般人(8回)-(2009/01/05(Mon) 14:57:15)

■No37285に返信(miyupさんの記事)
> 2009/01/05(Mon) 11:08:50 編集(投稿者)
>
> p.s.
> 問題に
> 「和事象の確率は,個々の事象の確率の和以下となる」ことを用いよ。
> と書いてあります。
> これが大きなヒントになっています。
>
> 不等式の値を評価する問題なので、実際の確率自体は必要ありません。
> というか、実際に確率を出すのが難しい(？)ので、値を評価させる問題になっているのだと思います。
>
> 問題をよく読まないと誤解して間違ったり解けずに時間オーバーになったりしますので気をつけましょう。

ありがとうございました。

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