数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 合成関数の微分 / Page: 0]

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■36369 / inTopicNo.1)

　合成関数の微分

□投稿者/ ゆう一般人(26回)-(2008/10/17(Fri) 22:35:03)

合成関数の微分法の問題で

$2$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dt}{dx}\frac{d}{dx}\frac{dy}{dt}$

として計算する方法と

$2$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\frac{dt}{dx}\frac{dy}{dt}$

とした計算では、答えが違うのですが、どうしてなのでしょうか？
問題の解答を見ると前者なら正解となります。
単に、前２つを入れ替えただけなのですが。。。

どなたかご回答お願いします。

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■36371 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 合成関数の微分

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□投稿者/ xy 一般人(5回)-(2008/10/17(Fri) 23:07:51)

2008/10/17(Fri) 23:14:03 編集(投稿者)

■No36369に返信(ゆうさんの記事)

そもそもどういう計算をして合わなかったのかがいまの書き込み内容からではよくわからないが
$2$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$
をきちんと何の作用素がどういう函数に作用しているのかに注意すれば
$2$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{dt}{dx}\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)$
とか
$2$\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{dt}{dx}\cdot\frac{dy}{dt}\right)$
などと変形してもなにも問題は無いはずだけど。

> 単に、前２つを入れ替えただけなのですが。。。
「単に」と簡単に言ってしまっているけれども、微分作用素と掛け算作用素は可換ではないので、よく考えずに「入れ替え」たならば、それは致命的な間違いに繋がるかもしれない。微分作用素と掛け算作用素が可換でないことは、例えば
$2$\frac{d}{dx}(xy)=(x\frac{d}{dx}+1)y$ であることで特徴付けられる。これを普通は $2$\frac{d}{dx}x=x\frac{d}{dx}+1$ とか $2$[\frac{d}{dx},x]=1$ などと表す。

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■36372 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 合成関数の微分

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□投稿者/ ゆう一般人(27回)-(2008/10/18(Sat) 00:44:32)

■No36371に返信(xyさんの記事)

xyさん、有難うございます。

具体的には、数学Ⅲの問題で、

$2$x=\cos ^3t$ $2$y=\sin ^3t$ において、
$2$\frac{d^2y}{dx^2}$
を求めよ。

という問題です。

私はこの解答を

$2$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dt}{dx}*\frac{d}{dt}*\frac{dy}{dx} =\frac{1}{3\cos ^4t\sin t}$
(正解)

$2$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}*\frac{dt}{dx}*\frac{dy}{dx} =\frac{1}{\cos ^4t\sin t}$
(不正解)

となってしまい、計算の方法により、答えが異なります。

それから、

>>単に、前２つを入れ替えただけなのですが。。。
> 「単に」と簡単に言ってしまっているけれども、微分作用素と掛け算作用素は可換ではないので、よく考えずに「入れ替え」たならば、それは致命的な間違いに繋がるかもしれない。微分作用素と掛け算作用素が可換でないことは、例えば
> $2$\frac{d}{dx}(xy)=(x\frac{d}{dx}+1)y$ であることで特徴付けられる。これを普通は $2$\frac{d}{dx}x=x\frac{d}{dx}+1$ とか $2$[\frac{d}{dx},x]=1$ などと表す。
>
上式は私は見たことがなく、おっしゃってることが全くわかりません。
これは大学受験の範囲なのでしょうか？

ぜひご回答願いたいです。
よろしくお願いします。

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■36375 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 合成関数の微分

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□投稿者/ ajo 一般人(3回)-(2008/10/18(Sat) 01:46:46)

d/dxのようなものを微分演算子といいますが、微分演算子は交換法則が成り立ちません。

ゆうさんがやろうとしていることは
(d/dx)(f(x)g(x)) = f(x)((d/dx)g(x))
と同じようなことです。

d^2y/dx^2 = (d/dx)(dy/dx) = (d/dx){(dy/dt)*(dt/dx)} = (d/dx){(dy/dt)/(dx/dt)}
　　　　　　　　　　　　　= (dt/dx)*(d/dt)(dy/dx)
です。
d/dxの後に掛け算の*, ・はいりません。掛け算ではないのですから。

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