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■36138 / inTopicNo.1) 　曲線の長さ
  ▼■
□投稿者/ sumika 一般人(12回)-(2008/10/04(Sat) 07:24:31)
    またお願いします。

    曲線y=log(x)のx=1からx=2までの部分の長さを求めよ。

    y=f(x)のx=[a,b]のときの曲線の長さの公式
    L=∫[a→b]{√(1+(f'(x))^2)}dxを使うのだと思いますが、
    L=∫[1→2]{√(1+(1/x)^2)}dxという積分の計算方法が分かりません。

    (1)L=∫[1→2]{√(1+(1/x)^2)}dxが計算できるのならその方法を教えてください。
    (2)もっと別な解法があるのならそれを教えてください。
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■36139 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 曲線の長さ
□投稿者/ WIZ 大御所(295回)-(2008/10/04(Sat) 08:51:30)
    L = ∫[1→2]{√(1+(1/x)^2)}dxとします。

    先ず√(1+(1/x)^2) = (√(x^2+1))/xです。

    √(x^2+1) = x+tとおきます。
    両辺を2乗してx^2+1 = x^2+2xt+t^2 ⇒ 1 = 2xt+t^2 ⇒ (1-t^2)/(2t) = x

    よって(√(x^2+1))/x = (x+t)/x = ((1-t^2)/(2t)+t)/((1-t^2)/(2t))
    = ((1-t^2)+2t^2)/(1-t^2) = (1+t^2)/(1-t^2)

    x = (1-t^2)/(2t)より、
    dx/dt = (d/dt)(1/2)(1/t-t) = (1/2)(-1/(t^2)-1) = (-1/2)(1+t^2)/(t^2)
    ⇒ dx = {(-1/2)(1+t^2)/(t^2)}dt

    tの積分範囲はt = √(x^2+1)-xより、[√2-1,√5-2]
    # t = 1/{√(x^2+1)+x}なので、1 ≦ x ≦ 2でtは単調減少です。

    以上からL = ∫[√2-1,√5-2]{(1+t^2)/(1-t^2)}*{(-1/2)(1+t^2)/(t^2)}dt
    = (-1/2)∫[√2-1,√5-2]{(1+t^2)/(t^2)}dt
    = (-1/2)[-1/t+t]_[√2-1,√5-2]
    = (-1/2){(-1/(√5-2)+√5-2)-(-1/(√2-1)+√2-1)}
    = (-1/2){(-(√5+2)/(5-4)+√5-2)-(-(√2+1)/(2-1)+√2-1)}
    = (-1/2){(-√5-2+√5-2)-(-√2-1+√2-1)}
    = (-1/2){(-4)-(-2)}
    = (-1/2){-2}
    = 1
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■36141 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 曲線の長さ
□投稿者/ Arc 一般人(1回)-(2008/10/04(Sat) 10:02:04)
    ■No36139に返信(WIZさんの記事)
    > L = ∫[1→2]{√(1+(1/x)^2)}dxとします。
    >
    > 先ず√(1+(1/x)^2) = (√(x^2+1))/xです。
    >
    > √(x^2+1) = x+tとおきます。
    > 両辺を2乗してx^2+1 = x^2+2xt+t^2 ⇒ 1 = 2xt+t^2 ⇒ (1-t^2)/(2t) = x
    >
    > よって(√(x^2+1))/x = (x+t)/x = ((1-t^2)/(2t)+t)/((1-t^2)/(2t))
    > = ((1-t^2)+2t^2)/(1-t^2) = (1+t^2)/(1-t^2)
    >
    > x = (1-t^2)/(2t)より、
    > dx/dt = (d/dt)(1/2)(1/t-t) = (1/2)(-1/(t^2)-1) = (-1/2)(1+t^2)/(t^2)
    > ⇒ dx = {(-1/2)(1+t^2)/(t^2)}dt
    >
    > tの積分範囲はt = √(x^2+1)-xより、[√2-1,√5-2]
    > # t = 1/{√(x^2+1)+x}なので、1 ≦ x ≦ 2でtは単調減少です。
    >
    > 以上からL = ∫[√2-1,√5-2]{(1+t^2)/(1-t^2)}*{(-1/2)(1+t^2)/(t^2)}dt

799×470 => 250×147

1223082124.gif/8KB
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■36147 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 曲線の長さ
□投稿者/ WIZ 大御所(296回)-(2008/10/05(Sun) 00:08:21)
    Arcさんご指摘ありがとうございます。
    sumikaさんごめんなさい。計算間違いをしていましたので訂正します。

    L = ∫[√2-1,√5-2]{(1+t^2)/(1-t^2)}*{(-1/2)(1+t^2)/(t^2)}dt
    までは正しいと思います。以下訂正します。

    L = (-1/2)∫[√2-1,√5-2]{((1+t^2)^2)/((1-t^2)(t^2))}dt
    となります。

    1/((1-t^2)(t^2)) = 1/(1-t^2)+1/(t^2), 1/(1-t^2) = (1/2){1/(1-t)+1/(1+t)}
    ですので、
    ((1+t^2)^2)/((1-t^2)(t^2)) = (1+2t^2+t^4)*{1/(1-t^2)+1/(t^2)}
    = (4-2(1-t^2)-(1-t^4))/(1-t^2)+(1/t^2+2+t^2)
    = (4/(1-t^2)-2-(1+t^2))+(1/t^2+2+t^2)
    = 4/(1-t^2)-1+1/t^2
    = 2/(1-t)+2/(1+t)-1+1/t^2

    よって、
    L = (-1/2)∫[√2-1,√5-2]{2/(1-t)+2/(1+t)-1+1/t^2}dt
    = (-1/2)[-2*log(1-t)+2*log(1+t)-t-1/t]_[√2-1,√5-2]
    = [log((1-t)/(1+t))+t/2+1/(2t)]_[√2-1,√5-2]

    F(t) = log((1-t)/(1+t))+t/2+1/(2t)とおくと、L = F(√5-2)-F(√2-1)です。

    F(√5-2) = log((1-(√5-2))/(1+(√5-2)))+(√5-2)/2+1/(2*(√5-2))
    = log((3-√5)/(√5-1))+(√5-2)/2+(√5+2)/(2*(5-4))
    = log((3-√5)(√5+1)/(5-1))+(√5-2)/2+(√5+2)/2
    = log((2√5-2)/4)+√5
    = log((√5-1)/2)+√5

    F(√2-1) = log((1-(√2-1))/(1+(√2-1)))+(√2-1)/2+1/(2*(√2-1))
    = log((2-√2)/(√2))+(√2-1)/2+(√2+1)/2
    = log(√2-1)+√2

    以上から
    L = {log((√5-1)/2)+√5}-{log(√2-1)+√2} = 1.2220･････
    となります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■36159 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 曲線の長さ
□投稿者/ sumika 一般人(14回)-(2008/10/05(Sun) 18:14:54)
    WIZさん、Arcさんご指導ありがとうございます。

    やはりL=∫[1→2]{√(1+(1/x)^2)}dxを計算すれば良いということですね。

    定積分の計算手順についてはだいたい理解できました。
    ただ√(x^2+1) = x+tと置換することに気付かないと解けませんよね。
    どのような場合にどう置換するというのは問題数をこなしてパターンを
    覚えるしかないのでしょうか。

    抽象的な質問ですみませんががよろしくお願いいたします。
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■36187 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 曲線の長さ
□投稿者/ WIZ 大御所(299回)-(2008/10/06(Mon) 21:57:42)
    > ただ√(x^2+1) = x+tと置換することに気付かないと解けませんよね。
    > どのような場合にどう置換するというのは問題数をこなしてパターンを
    > 覚えるしかないのでしょうか。

    私の場合、パターンを覚えているものもありますが、大抵は試行錯誤です。
    # ですから苦労して長い計算の末に回答が得られて投稿(?)しようとしたしたところ、
    # 別の方がもっとスマートな方法で投稿済みだったということもしばしばです。

    a,b,cを実数として、√(ax^2+bx+c)が出てくるパターンは、
    (1)a > 0の場合は√(ax^2+bx+c) = (√a)x+tと置換すると上手く行くことが多い気がします。
    (2)a < 0でax^2+bx+c = a(x-u)(x-v)と実数の範囲で因数分解できる場合は(u ≦ vとして)
    √{(x-u)/(v-x)} = tと置換すると上手く行くことが多い気がします。
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■36205 / inTopicNo.7) 　Re[5]: 曲線の長さ
□投稿者/ Arc 一般人(2回)-(2008/10/08(Wed) 16:55:23)
    ■No36159に返信(sumikaさんの記事)
    > WIZさん、Arc
    > ただ√(x^2+1) = x+tと置換する


    置換の根拠は；

    Limit[Sqrt[4*x^2 - 12*x + 11] - (a*x + b), x -> Infinity]=0となる
    a,bを求めよ（岡山大）
    のような漸近線の問題絡みです。

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■36211 / inTopicNo.8) 　Re[6]: 曲線の長さ
□投稿者/ sumika 一般人(16回)-(2008/10/08(Wed) 19:32:23)
    WIZさん、Arcさんご指導ありがとうございます。

    試行錯誤だと試験時間内に解くことができないかもという不安がありますので、
    なるべくたくさんの問題をこなしてパターンを覚えようと思います。

    Arcさんの書かれた数式はどういう意味なのでしょうか。
    よろしければ教えてください。
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■37970 / inTopicNo.9) 　珮齏韈瑣ⅱ� 浯��
□投稿者/ powercheap 一般人(1回)-(2009/04/14(Tue) 21:53:46)
http://cheappower.ru
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