| Arcさんご指摘ありがとうございます。 sumikaさんごめんなさい。計算間違いをしていましたので訂正します。
L = ∫[√2-1,√5-2]{(1+t^2)/(1-t^2)}*{(-1/2)(1+t^2)/(t^2)}dt までは正しいと思います。以下訂正します。
L = (-1/2)∫[√2-1,√5-2]{((1+t^2)^2)/((1-t^2)(t^2))}dt となります。
1/((1-t^2)(t^2)) = 1/(1-t^2)+1/(t^2), 1/(1-t^2) = (1/2){1/(1-t)+1/(1+t)} ですので、 ((1+t^2)^2)/((1-t^2)(t^2)) = (1+2t^2+t^4)*{1/(1-t^2)+1/(t^2)} = (4-2(1-t^2)-(1-t^4))/(1-t^2)+(1/t^2+2+t^2) = (4/(1-t^2)-2-(1+t^2))+(1/t^2+2+t^2) = 4/(1-t^2)-1+1/t^2 = 2/(1-t)+2/(1+t)-1+1/t^2
よって、 L = (-1/2)∫[√2-1,√5-2]{2/(1-t)+2/(1+t)-1+1/t^2}dt = (-1/2)[-2*log(1-t)+2*log(1+t)-t-1/t]_[√2-1,√5-2] = [log((1-t)/(1+t))+t/2+1/(2t)]_[√2-1,√5-2]
F(t) = log((1-t)/(1+t))+t/2+1/(2t)とおくと、L = F(√5-2)-F(√2-1)です。
F(√5-2) = log((1-(√5-2))/(1+(√5-2)))+(√5-2)/2+1/(2*(√5-2)) = log((3-√5)/(√5-1))+(√5-2)/2+(√5+2)/(2*(5-4)) = log((3-√5)(√5+1)/(5-1))+(√5-2)/2+(√5+2)/2 = log((2√5-2)/4)+√5 = log((√5-1)/2)+√5
F(√2-1) = log((1-(√2-1))/(1+(√2-1)))+(√2-1)/2+1/(2*(√2-1)) = log((2-√2)/(√2))+(√2-1)/2+(√2+1)/2 = log(√2-1)+√2
以上から L = {log((√5-1)/2)+√5}-{log(√2-1)+√2} = 1.2220・・・・・ となります。
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