□投稿者/ WIZ 大御所(295回)-(2008/10/04(Sat) 08:51:30)
 | L = ∫[1→2]{√(1+(1/x)^2)}dxとします。
先ず√(1+(1/x)^2) = (√(x^2+1))/xです。
√(x^2+1) = x+tとおきます。
両辺を2乗してx^2+1 = x^2+2xt+t^2 ⇒ 1 = 2xt+t^2 ⇒ (1-t^2)/(2t) = x
よって(√(x^2+1))/x = (x+t)/x = ((1-t^2)/(2t)+t)/((1-t^2)/(2t))
= ((1-t^2)+2t^2)/(1-t^2) = (1+t^2)/(1-t^2)
x = (1-t^2)/(2t)より、
dx/dt = (d/dt)(1/2)(1/t-t) = (1/2)(-1/(t^2)-1) = (-1/2)(1+t^2)/(t^2)
⇒ dx = {(-1/2)(1+t^2)/(t^2)}dt
tの積分範囲はt = √(x^2+1)-xより、[√2-1,√5-2]
# t = 1/{√(x^2+1)+x}なので、1 ≦ x ≦ 2でtは単調減少です。
以上からL = ∫[√2-1,√5-2]{(1+t^2)/(1-t^2)}*{(-1/2)(1+t^2)/(t^2)}dt
= (-1/2)∫[√2-1,√5-2]{(1+t^2)/(t^2)}dt
= (-1/2)[-1/t+t]_[√2-1,√5-2]
= (-1/2){(-1/(√5-2)+√5-2)-(-1/(√2-1)+√2-1)}
= (-1/2){(-(√5+2)/(5-4)+√5-2)-(-(√2+1)/(2-1)+√2-1)}
= (-1/2){(-√5-2+√5-2)-(-√2-1+√2-1)}
= (-1/2){(-4)-(-2)}
= (-1/2){-2}
= 1
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