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■36126 / inTopicNo.1) 　循環小数を分数で表す･･･
  ▼■
□投稿者/ 数学科非常勤講師 一般人(1回)-(2008/10/03(Fri) 21:59:19)
    数学から離れた年配の方に以下のような質問をされました。

    　　x = 0.999･･･とすると
    　　10x − x = 9
    　　9x = 9
    　　x = 1

    これおかしいでしょ？何で？？と･･･。

    私は「0.999･･･」というのは限りなく「1」に近い数でこれは「1」とみなすんです！と説明したのですが納得していただけず，「1」と「0.999･･･」は違うじゃない！と言われました･･･。
    それから私は色々な参考書などで調べた結果，やはり

    　　「0.999･･･ = 0.9 / (1 − 0.1) = 1
    　　　よって，0.999･･･は1の別の表現方法と考えられる。」

    と簡単に記載していました･･･。

    高等数学などを知らない方にこれを説明するとき，どうやったら納得していただける説明を出来るのでしょうか･･･！？
    是非，力をお貸し下さい！！
    宜しくお願いします！m(_ _)m


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■36127 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 循環小数を分数で表す･･･
□投稿者/ sol 一般人(6回)-(2008/10/03(Fri) 22:03:02)
    個人的には、非常に厳しいと思ってます。
    なぜかというと、「０．９９９・・・」の「・・・」の部分を「無限」としてイメージすることは、ある程度数学を身につけていないと難しいでしょうから。

    そうですねぇ、１／３を計算してもらって３倍するとかですかね？
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■36129 / inTopicNo.3) 　Re[1]: 循環小数を分数で表す･･･
□投稿者/ miyup 大御所(570回)-(2008/10/03(Fri) 23:30:18)
    2008/10/04(Sat) 12:35:04 編集(投稿者)

    ■No36126に返信(数学科非常勤講師さんの記事)
    >　　x = 0.999･･･とすると
    >　　10x − x = 9
    >　　9x = 9
    >　　x = 1
    > これおかしいでしょ？

    論理的におかしいところはありません。だったらこの結果を認めるのが正しい態度というものです。
    これをＮＯというのは自由ですが、論理的に示すことができなければ、それは数学ではありません。

    > 私は「0.999･･･」というのは限りなく「1」に近い数で

    というと、数学スキルのない人にとっては『「近い」数だからイコールでない』となってしまいます。
    0.9999… を 1 と「みなす」という言い方も、誤解を生むと思います。

    > 0.9999･･･は1の別の表現方法

    このくらいの言い方でいいと思います。


    1−0.9999… の答えがどうなるか聞いてみたらどうですか？
    （０以外の有限確定値であれば、この２数はイコールでないといえますね）
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■36130 / inTopicNo.4) 　り
□投稿者/ 早稲田志望 一般人(7回)-(2008/10/04(Sat) 00:23:50)
    0.999･･･となる数列Anを考えましょう。私たちは、有限なものはよく理解しているので
    An=1-1/10^n=0.999･･･9(n≧1) 9の数はnに相当。

    これから出発すればいいと思います。



    1/10^n→0.999･･･(n→∞)

    (携帯)
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■36132 / inTopicNo.5) 　続き
□投稿者/ 早稲田志望 一般人(9回)-(2008/10/04(Sat) 00:38:17)
    つまりは、n=1,2,3,4,5,6･･･ と大きくしていくとより1に近い値になります。

    このように、近似の精度をあげることができます。

    (携帯)
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■36136 / inTopicNo.6) 　Re[2]: 続き
□投稿者/ Ｎ 軍団(121回)-(2008/10/04(Sat) 05:18:55)
    まあ、その年輩の方が数学をどれほど知っていて、どれほど知らないのか分からないので、詳しくは言えませんが、もし、数学が全く駄目でしたら、お金の例えなどで説明したらいかがでしょうか？

    日本の現在の一般収入はおよそ83兆円ぐらいですが、83兆円にしましょう。
    そして、ここに１銭（昔のお金の単位）余計にお金があったところで、普通の人々は83兆円と１銭…とは言わないでしょうね。
    ここまで大きい額になれば、１円の百分の１の１銭などほとんど気にかけなくなります。小さすぎて。
    １と0.999999…の場合、誤差？はもっともっとずっと小さくなります。故にその差は気にしなくてもいい値になっている
    と説明してもいいかもしれません。

    あくまでも一考えですが。
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■36140 / inTopicNo.7) 　Re[1]: 循環小数を分数で表す･･･
□投稿者/ DANDY　U 一般人(10回)-(2008/10/04(Sat) 09:37:14)
    次のように背理法による説明もあります。

    もし、１≠0.99999・・・とすれば、１−0.99999・・・＝ａ(≠0)なるａが存在します。
    このａに対し、(1/10)^n＜ａ 　なる自然数ｎが必ず存在します。
    すると　１−(1/10)^n＞１−ａ＝0.9999・・・
    ゆえに　0.999・・・9 ＞ 0.99999・・・・ 　となり矛盾します。
    　　　(9がｎ個並ぶ)　 (9が無限個並ぶ)

    したがって、１＝0.99999・・・　でなければならない。
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■36143 / inTopicNo.8) 　Re[2]: 循環小数を分数で表す･･･
□投稿者/ 数学科非常勤講師 一般人(3回)-(2008/10/04(Sat) 14:19:22)
    solさん，miyupさん，早稲田志望さん，Nさん，DANDY　Uさん
    たくさんのご解答ありがとうございます！！

    やはり数学をあまり知らない方にはsolさんの簡単であったり，Nさんのお金を例にした説明が良いのかもしれませんね･･(^^;

    miyupさんのように，

    > 論理的におかしいところはありません。だったらこの結果を認めるのが正しい態度というものです。

    というような説明もしたのですが「それじゃ説明にならん！だって0.999･･･と1は違うやん！」との一点張りでした･･･(^o^;;
    まぁ確かに数学という目線から離れて見たら私も「違うもの」として見るのでしょうね･･･。

    数学に理解がある(言い方ヘン？)方なら早稲田志望さんやDANDY　Uさんの証明が一発で終わるのでしょうね･･(^_^/

    この度は本当にたくさんの方のご解答，誠にありがとうございました！！
    その年配の方も最後は「数学はよう知らんけどこうやって考えるのが楽しいね！」とおっしゃっていましたので，ここでの皆さんの解答などをお土産話にまた「説得(笑)」しに行ってみます！！m(_ _)m

解決済み!
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■36149 / inTopicNo.9) 　Re[2]: 循環小数を分数で表す･･･
□投稿者/ WIZ 大御所(297回)-(2008/10/05(Sun) 00:40:48)
    DANDY　Uさんへ

    > 次のように背理法による説明もあります。
    > もし、１≠0.99999・・・とすれば、１−0.99999・・・＝ａ(≠0)なるａが存在します。
    > このａに対し、(1/10)^n＜ａ 　なる自然数ｎが必ず存在します。
    > すると　１−(1/10)^n＞１−ａ＝0.9999・・・
    > ゆえに　0.999・・・9 ＞ 0.99999・・・・ 　となり矛盾します。
    > 　　　(9がｎ個並ぶ)　 (9が無限個並ぶ)
    > したがって、１＝0.99999・・・　でなければならない。

    厳密に言うと上記の証明には欠陥があります。

    「1 ≠ 0.99999･････」という仮定から導かれる結論として
    「1-0.99999･････ = a ≠ 0なるaが存在」までは良いですが、
    途中から「1-0.99999･････ = a > 0なるaが存在」にすり変わってしまっています。

    a > 0の場合とa < 0の場合に分けて考える必要があります。
    或いは「1-0.99999･････ = a ≠ 0なるaが存在」から、a > 0に限ることを別途証明しなければなりません。
    # 少し考えましたが、どちらもうまい方法は思い付けていません。

    直感的には1 ≠ 0.99999･････ならば、1 > 0.99999･････だろうと推論するのは自然だと思いますが、
    直感だけでは数学になりませんので。

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■36153 / inTopicNo.10) 　Re[3]: 循環小数を分数で表す･･･
□投稿者/ DANDY　U 一般人(11回)-(2008/10/05(Sun) 10:19:15)
    2008/10/05(Sun) 12:29:53 編集(投稿者)
    2008/10/05(Sun) 10:31:12 編集(投稿者)

    WIZ さんへ
    > 厳密に言うと上記の証明には欠陥があります。
    >
    > a > 0の場合とa < 0の場合に分けて考える必要があります。
    > 或いは「1-0.99999･････ = a ≠ 0なるaが存在」から、a > 0に限ることを別途証明しなければなりません

    ご指摘ありがとうございます。しかし、欠陥があるとは思っていません。
    「ａ＜0の場合も考える必要がある」ということは、「0.9999・・・・＞１ の場合も考える必要がある」ということですね。

    小数というのは分数の別表現で 0.99999・・・＝(1/10)*9＋(1/10^2)*9＋(1/10^3)*9＋・・・・　　ですので
    ◎「１」という量を10等分したもののうちの９つ分をとりだし ・・・・・(イ)
    ◎残りにあたる 1/10 をまた10等分したもののうちの９つ分をとりだし、(イ)に加え
    ◎また残りにあたる 1/10^2 をまた10等分したもののうちの９つ分をとりだし、またそれを付け加え
    ◎また残りにあたる 1/10^3 をまた10等分したもののうちの９つ分をとりだし、またそれを付け加え
    ◎また残りにあたる 1/10^4　　・・・・・・・・
    　・・・・・・
    これを無限に繰り返してできる数量が 0.9999・・・・となり、「１」という数量の枠内でのことだから0.999・・・が１より大きくなることは考慮に入れる必要がないと思われます。（これらは自明かと・・）



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■37357 / inTopicNo.11) 　Re[4]: 循環小数を分数で表す･･･
□投稿者/ boku 一般人(1回)-(2009/01/16(Fri) 16:19:10)
    中卒の頭なので正しい書き方は分かりませんが、
    最初の式がすでに違っていると思います。
    ｘを９倍しても９にはならないので、右辺は９より小さい値なのは確実です。
    　　x = 0.999･･･(無限)とすると
    　　10x − x = 9 − 0.000･･･9 （どこまで行っても必ず最小桁の"次の桁"に9が入る）
    　　9x = 9 − 0.000･･･9
    　　x = 1 − 0.000･･･1
    　　x = 0.999･･･
    となります。
    (算数的ですけどイメージとしては伝わると信じています･･･汗)

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■37358 / inTopicNo.12) 　Re[5]: 循環小数を分数で表す･･･
□投稿者/ sol 一般人(1回)-(2009/01/16(Fri) 17:07:43)
    ■No37357に返信(bokuさんの記事)
    > 中卒の頭なので正しい書き方は分かりませんが、
    > 最初の式がすでに違っていると思います。
    > ｘを９倍しても９にはならないので、右辺は９より小さい値なのは確実です。
    > 　　x = 0.999･･･(無限)とすると
    > 　　10x − x = 9 − 0.000･･･9 （どこまで行っても必ず最小桁の"次の桁"に9が入る）
    > 　　9x = 9 − 0.000･･･9
    > 　　x = 1 − 0.000･･･1
    > 　　x = 0.999･･･
    > となります。
    > (算数的ですけどイメージとしては伝わると信じています･･･汗)
    >

    「最後の桁」（「最小桁の次の桁」）ってなんですか？
    「・・・」って「ずっと続く」言い換えると「最後の桁（止まる桁）」はない，という意味ではないんでしょうか？

    １＝０．９９９９９９…
    ですから
    ９＝８．９９９９９９…
    です。

    「無限」というのはそれだけ怖いってことです．
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■37360 / inTopicNo.13) 　Re[6]: 循環小数を分数で表す･･･
□投稿者/ kei 一般人(19回)-(2009/01/16(Fri) 20:58:48)
    数学とは、それに慣れているから理解できて、慣れていない人には理解できないというようなものではないと思います。

    数学になれていなくても、きちんと説明されれば必ず理解できるはずのものです。

    そして数学には、「定義」と「定理」しかありません。すごくシンプルです。
    (公理は定義の一種と見なせますし、補題、系、公式などは定理の一種です)

    ですから、何が「定義」で、何がその定義から導かれる「定理」なのかを整理すれば、問題は解決します。


    今回の場合問題なのは、
    「0.999…」という表記の「定義」です。
    「1」や「9」と表記すれば、誰でも「ああ、このように定義されたものだな」と理解することができます。
    (といっても、本当にこれらを定義しようと思えば基礎論的な高度なことを学ばなければなりませんが。。)
    しかし、「0.999…」の定義は？と言われて、皆さんは答えられるでしょうか？

    僕はこの問題の本質は、この「0.999…」の定義にあると思います。
    この「0.999…」の定義が、今の数学では数列0.9,0.99,0.999,…の収束先で定義されているので、0.999…=1となるわけです。

    こんな単純なことですが、「0.999…」の定義を考えずに、0.999…と9を増やしていくと何に「なるか」などと曖昧なことを考えるから混乱するわけです。
    別に、9を増やしていっても、何か新しい数に「なる」わけではないですよね。
    もし「なる」と思うのなら、「なる」という用語をきちんと「定義」しないといけません。


    というわけで、長々と乱文を書いてしまいましたが、結論としては、その人に
    「0.999…の定義は何ですか？(or あなたは0.999…という表記をどういう意味で使っていますか？)」
    と聞けばいいだけの話ではないでしょうか？
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