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■35697 / inTopicNo.1) 　微分公式
  ▼■
□投稿者/ ７７７ 一般人(1回)-(2008/09/14(Sun) 06:33:48)
    微分公式に関する質問です。以下の公式
    (xa)′ = axa−1
    (sin x)′ = cos x
    (cos x)′ = −sin x
    を教科書などでよく見かけるのですが、これは
    ∀x,(xa)′ = axa−1
    ∀x,(sin x)′ = cos x
    ∀x,(cos x)′ = −sin x
    と書くのが正確ですよね？なぜ∀xが省略されて書かれるのでしょうか？
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■35698 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 微分公式
□投稿者/ らすかる 大御所(423回)-(2008/09/14(Sun) 07:39:42)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
    例えば
    　sin(2x)=2sinxcosx
    という公式が
    　∀x,sin(2x)=2sinxcosx
    と書かれているのを私は見たことがありません。
    それと同じことでは？
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■35703 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 微分公式
□投稿者/ ７７７ 一般人(3回)-(2008/09/14(Sun) 17:26:40)
    回答ありがとうございます。
    らすかるさんは、教科書で(sinx)'=cosxという式を見かけたら
    「∀xは省略されてる」と解釈しますか？？
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■35704 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 微分公式
□投稿者/ ∃ 一般人(1回)-(2008/09/14(Sun) 18:54:47)
    2008/09/14(Sun) 19:29:08 編集(投稿者)
    2008/09/14(Sun) 19:15:14 編集(投稿者)

    ■No35703に返信(７７７さんの記事)
    > 教科書で(sinx)'=cosxという式を見かけたら
    > 「∀xは省略されてる」と解釈しますか？？
    ∀x∈S

    S=R ?
    S=C ?
    -------------------------------------
    (x^13 + 3*x^7 - 2*x^5 + x^3 + 69)/ (x^11 + x^8 - x^6 - 12*x^5 - x^3 + 12)
    =-(36/(25*(-1 + x))) + x^2 +
    (3*(93 + 333*x + 521*x^2))/
    (847*(-3 + x^3)) +
    (6977 - 3728*x - 19708*x^2)/
    (7175*(4 + x^3)) +
    (103603 + 80858*x + 52625*x^2 +
    33274*x^3)/(24805*(1 + x + x^2 + x^3 +
    x^4))
    では;
    S=R-{x1,x2....} ?
    S=C-{z1,z2,.....} ?
    S=K-{k1,k2,.....} ?
    ------------------------------

    D[ArcTan[z], z]=1/(1 + z^2)

    S=C-{_____} ?


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■35708 / inTopicNo.5) 　Re[3]: 微分公式
□投稿者/ らすかる 大御所(426回)-(2008/09/14(Sun) 20:47:56)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
    ＞らすかるさんは、教科書で(sinx)'=cosxという式を見かけたら
    ＞「∀xは省略されてる」と解釈しますか？？

    逆にお聞きしますが、７７７さんは sin(2x)=2sinxcosx という式を
    見たときに「∀xが省略されている」とお考えですか？

    私は特にそういう意識はありません。
    左辺はsinxの導関数、右辺はcosxで、
    「sinxの導関数はcosxである」という単なる関数の等式であり、
    通常このような公式は（定義域内の）任意のxについて成り立つのが
    当り前ですから（任意のxについて成り立つから公式になっている
    わけですから）、特に「任意のx」とか意識することはありません。
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■35709 / inTopicNo.6) 　Re[1]: 微分公式
□投稿者/ WIZ 大御所(268回)-(2008/09/14(Sun) 21:29:49)
    横から失礼します。

    目的が数式を論理的に正確に書くことであるのなら、全称記号だけでは不十分だと思います。

    (1)「∀x」とだけ書いても無意味で、xの定義域が明確になって初めて意味を持ちます。
    　７７７さんは「xの定義域は当然実数全体だ」と思うかもしれませんが、
    　数学的正確さを追求するのなら明記しなくては意味がありません。

    (2)「(f(x))'」は(d/dx)f(x)の意味だと思いますが、どの変数で(常)微分したのか明示する
    　ためにも(d/dx)f(x)と書くべきでしょう。

    (3)「(xa)′ = axa−1」という数式(?)ですが、(x^a)' = a*(x^(a-1))の意味ですよね?
    　７７７さんの書き方だと(x*a)′= (a*x*a)-1という意味になってしまいます。
    　数学的正確さを追求するのなら、全称記号の省略云々以前に自分が意図した通りの
    　意味の数式となるように括弧を正しく使いましょう。

    ここから本題です。

    命題関数P(x)が定義域内の任意のxで真である場合、「∀x(P(x))」を略して(?)「P(x)」
    と書くことが多いようです。

    例えばxの定義域を実数Rとして「e^x > 0」などと書いて違和感ないですよね?
    細かく言えばe^xは関数を表しており、xの値が決まって初めて値となる訳です。
    つまり「e^x > 0」は命題関数であり、これだけでは真偽を問うことができません。
    「x = 1のときe^x > 1」とか「e^1 > 1」なら命題となり、真偽を問うことができます。

    ここで「(∀x∈R)(e^x > 0)」ですから「全ての実数について」を省略しても
    (定義域内で)例外なく「e^x > 0」だから問題ないということかもしれません。

    それとも７７７さんは「全ての3角形の内角の和は2直角である」とか、
    「全ての円の面積は円周率×半径×半径である」などでも「全ての〜」を
    省略すべきでないとお考えですか?
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■35710 / inTopicNo.7) 　Re[2]: 微分公式
□投稿者/ ip 一般人(11回)-(2008/09/14(Sun) 22:19:58)
    2008/09/14(Sun) 22:28:47 編集(投稿者)

    この質問者は、２ちゃんねるの数学板では匿名で書いていてもそれとわかるくらいなのですが、いくら説明しても基本に戻ることもせずその説明を勝手に自分で捻じ曲げて勝手にどんどん深みに填まっていき、その都度回答者をわずらわせる質問を繰り返すというある種荒らしに近いタチの悪い人なので、スルー推奨です。

    本件では ∀x(sin(x))' と書くと x は固定された定数になってしまうので、微分したら 0 になって内容が違ってしまいます。三角函数については伝統的・慣習的にいろいろローカルな表現・組版が多く残っていますが、そういった流儀が別の流儀との一貫性を持たないとしても不思議ではありません。でもそういったことをいくら説いてもこの質問者は聞きもしません。
    この質問者はそもそも「函数 f(x)」という慣習的な表現すら（写像による定式化とは流儀が違うので）意味がわからないと言ってきかないのです。
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■35717 / inTopicNo.8) 　Re[4]: 微分公式
□投稿者/ ７７７ 一般人(5回)-(2008/09/15(Mon) 01:35:55)
    >>らすかるさん

    ＞「sinxの導関数はcosxである」という単なる関数の等式であり
    関数の等式と見るのが一般的なんですかね〜。

    ＞sin(2x)=2sinxcosx
    らすかるさんはこれも、上と同様に関数の等式と読んでるってことですか？？
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■35718 / inTopicNo.9) 　Re[2]: 微分公式
□投稿者/ ７７７ 一般人(6回)-(2008/09/15(Mon) 01:50:48)
    >>WIZさん

    > 例えばxの定義域を実数Rとして「e^x > 0」などと書いて違和感ないですよね?
    > 細かく言えばe^xは関数を表しており、xの値が決まって初めて値となる訳です。
    > つまり「e^x > 0」は命題関数であり、これだけでは真偽を問うことができませ
    > 「x = 1のときe^x > 1」とか「e^1 > 1」なら命題となり、真偽を問うことができ
    > ここで「(∀x∈R)(e^x > 0)」ですから「全ての実数について」を省略しても
    > (定義域内で)例外なく「e^x > 0」だから問題ないということかもしれません。
    数式を正確に書くというか、数学の本などを正確に読みたいという感じです。
    (3)に関しては失礼しました。
    僕は、例えば公式(例:sin^2θ+cos^2θ=1、log_a(b^k)=klog_a(b))などは、
    全称命題「∀x,P(x)」を「P(x)」と省略して書いていると解釈して読むのですが、
    (sinx)'=cosxに関してはこれが「∀x.(sinx)'(x)=cosx」の省略なのか、らすかるさんのいうように関数としての等式を表しているのか混乱しています。
    もちろん同値だということは分かります。
    ただ導関数f'の定義式が∀x,f'(x)=lim{f(x+h)-f(x)}/hであることを考えると
    どうしても、公式が全称記号の省略として書かれていると感じられて。
    長々とすいません。

    > それとも７７７さんは「全ての3角形の内角の和は2直角である」とか、
    > 「全ての円の面積は円周率×半径×半径である」などでも「全ての〜」を
    > 省略すべきでないとお考えですか?
    これはさすがに省略が明らかなので大丈夫です
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■35719 / inTopicNo.10) 　Re[3]: 微分公式
□投稿者/ らすかる 大御所(427回)-(2008/09/15(Mon) 02:14:54)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
    「関数の等式」という言葉に特別な意味があるのかどうか知りませんが、
    関数と関数を＝で結んだものであることには間違いないので
    単純に「関数の等式」と書いただけです。

    ＞ただ導関数f'の定義式が∀x,f'(x)=lim{f(x+h)-f(x)}/hであることを考えると
    ＞どうしても、公式が全称記号の省略として書かれていると感じられて。

    導関数の定義式がどうであっても、結果としてのf'(x)には定義式（の書式）は
    関係ありませんから、(sinx)'も単なる「関数」だと思います。

    ＞これはさすがに省略が明らかなので大丈夫です

    私にとっては他の公式の「∀x」も「省略が明らか」ですが、
    「明らか」かどうかを主観で決めるとしたら、議論しても意味がないですね。
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■35720 / inTopicNo.11) 　Re[4]: 微分公式
□投稿者/ ７７７ 一般人(7回)-(2008/09/15(Mon) 02:44:52)
    ■No35719に返信(らすかるさんの記事)
    > 「関数の等式」という言葉に特別な意味があるのかどうか知りませんが、
    > 関数と関数を＝で結んだものであることには間違いないので
    > 単純に「関数の等式」と書いただけです。
    ありがとうございます。なんかスッキリした気がします

    > 私にとっては他の公式の「∀x」も「省略が明らか」ですが、
    > 「明らか」かどうかを主観で決めるとしたら、議論しても意味がないですね。
    sin2x=sinxcosxは関数と関数を=で結んだものではなくて「∀x」を省略してるという
    ことですよね？
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■35721 / inTopicNo.12) 　Re[5]: 微分公式
□投稿者/ らすかる 大御所(428回)-(2008/09/15(Mon) 02:53:59)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
    ＞sin2x=sinxcosxは関数と関数を=で結んだものではなくて
    ＞「∀x」を省略してるということですよね？

    「「∀x」を省略してる」というのはいいですが、
    私には「関数と関数を=で結んだもの」に見えます。
    sin(2x)は関数、sinxcosxも関数で間に=がありますから…
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■35724 / inTopicNo.13) 　Re[3]: 微分公式
□投稿者/ WIZ 大御所(270回)-(2008/09/15(Mon) 07:14:24)
    ipさんへ
    > ∀x(sin(x))' と書くと x は固定された定数になってしまうので、微分したら 0 になって内容が違ってしまいます。

    ７７７さんの質問では「∀x,(sin x)′ = cos x」と書かれているので、
    善意に解釈すれば「∀x{(sin(x))' = cos(x)}」となって、
    関数y = sin(t)のt = xのときの微分係数dy/dt = sin'(x) = cos(x)という意味の数式を
    書きたかったのだと思いますよ。

    ipさん自信も仰られているように慣習的な表現として、(sin(x))' = cos(x)は良く用いられています。
    この場合の意味はらすかるさんが書かれている通り、関数の等式です。

    もしxを定数と解釈するのなら、(sin(x))'は如何なる変数で常微分したとipさんは解釈されたのでしょうか?
    # xが定数なら、(sin(x))' = (d/dx)sin(x)は数式として変です。
    # 例えばx = 1なら、(d/d1)sin(1)なんていう数式はありえませんよね。
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■35739 / inTopicNo.14) 　Re[4]: 微分公式
□投稿者/ ７７７ 一般人(8回)-(2008/09/15(Mon) 15:34:51)
    >>WIZさん
    sin2x=sinxcosxとかも関数の等式と解釈してます？
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■35741 / inTopicNo.15) 　Re[5]: 微分公式
□投稿者/ WIZ 大御所(272回)-(2008/09/15(Mon) 18:02:00)
    > sin2x=sinxcosxとかも関数の等式と解釈してます？

    上記の等式はnを任意の整数として、x = nπの場合に成立すると思います。
    これも等式ではありますが、個人的には方程式といった方がしっくりきます。
    また、xの定義域を実数とすると、特定のxについてしか成立しないので、
    個人的には関数の等式とはいえないと思っています。

    もし、sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x)の書き間違いで、かつxの定義域を実数とするならば、
    任意のxについて成立し、通称2倍角の公式と呼ばれている関数の等式といえると
    個人的には思いますが。
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■35745 / inTopicNo.16) 　Re[1]: 微分公式
□投稿者/ miyup 大御所(540回)-(2008/09/15(Mon) 22:31:34)
    ■No35697に返信(７７７さんの記事)
    > 微分公式に関する質問です。以下の公式
    > (xa)′ = axa−1
    > (sin x)′ = cos x
    > (cos x)′ = −sin x
    > を教科書などでよく見かけるのですが、これは
    > ∀x,(xa)′ = axa−1
    > ∀x,(sin x)′ = cos x
    > ∀x,(cos x)′ = −sin x
    > と書くのが正確ですよね？なぜ∀xが省略されて書かれるのでしょうか？

    「∀x」を書くのはおかしいですね。
    正しくは、d/dx・(x^a)=ax^(a-1)　などと書きますが
    ある関数に対して別の関数(導関数)を対応させるのが微分(d/dx)です。
    公式の左辺と右辺の x には数値を入れることが出来ません。
    でなければ (2^5)'=5・2^4 となってしまいます。
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■35748 / inTopicNo.17) 　Re[4]: 微分公式
□投稿者/ ip 一般人(12回)-(2008/09/15(Mon) 22:49:51)
    ■No35724に返信(WIZさんの記事)
    > ipさんへ
    >>∀x(sin(x))' と書くと x は固定された定数になってしまうので、微分したら 0 になって内容が違ってしまいます。
    >
    > ７７７さんの質問では「∀x,(sin x)′ = cos x」と書かれているので、
    > 善意に解釈すれば「∀x{(sin(x))' = cos(x)}」となって、
    > 関数y = sin(t)のt = xのときの微分係数dy/dt = sin'(x) = cos(x)という意味の数式を
    > 書きたかったのだと思いますよ。
    >
    そもそもこの質問者が「善意に解釈」することを拒否しているということにはお気づきでしょうか。この質問者は「数式には天賦の意味とただ一通りの解釈がある」という趣旨にもとづくとしか思えないような発言を繰り返し行っているのです。

    > ipさん自信も仰られているように慣習的な表現として、(sin(x))' = cos(x)は良く用いられています。
    > この場合の意味はらすかるさんが書かれている通り、関数の等式です。
    >
    質問者は「函数の等式」という言葉に通常とは異なる意味を持たせて話す人なので、そういう言い回しは質問者を泥沼の底まで沈める行為だろうと思います。
    > もしxを定数と解釈するのなら、(sin(x))'は如何なる変数で常微分したとipさんは解釈されたのでしょうか?
    > # xが定数なら、(sin(x))' = (d/dx)sin(x)は数式として変です。
    > # 例えばx = 1なら、(d/d1)sin(1)なんていう数式はありえませんよね。
    ありえないことを質問者自身が書いていると言ってるのであって、わたしにそれを説くのは意味がありませんよ。実際に解釈するとしたら微分する変数は何でもよい、 のような定積分を不定積分を意図して と書くようなものです。しかし少なくとも という量化をしてしまったとき、x は束縛されて定数となります。通常の使用では、議論の便宜のために変数と任意定数の違いはしばしば無視されますが、繰り返すように、質問者は「厳密に式を解釈したい」との旨述べており、「そうであるならばそれは意味が変わってしまって正確さとは正反対に作用している」というのが先のレスの意図です。

    もう少し議論の全体を見られたほうが宜しいかと。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■35762 / inTopicNo.18) 　Re[2]: 微分公式
□投稿者/ ７７７ 一般人(9回)-(2008/09/16(Tue) 20:55:45)
    >miyupさん
    > 「∀x」を書くのはおかしいですね。
    > 正しくは、d/dx・(x^a)=ax^(a-1)　などと書きますが
    > ある関数に対して別の関数(導関数)を対応させるのが微分(d/dx)です。
    > 公式の左辺と右辺の x には数値を入れることが出来ません。
    > でなければ (2^5)'=5・2^4 となってしまいます。

    (d/dx)の意味は理解できてます。
    僕がいいたかったのは、∀x,(sinx)'(x)=cosxの(∀x)と(x)の２つを省いてる
    だけの可能性がある(これならば代入可能かと)、ということです。
    でも今は、式の意図は(sinx)'=<x→cosx>のことと分かったので大丈夫です。
    ありがとうございました。

    >WIZさん
    ぼくも個人的にそっちのほうがしっくりきます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■35763 / inTopicNo.19) 　Re[5]: 微分公式
□投稿者/ ７７７ 一般人(10回)-(2008/09/16(Tue) 21:01:22)
    >>ipさん

    関数と関数を=で結ぶものを「関数の等式」というのが慣習なんですかね？
    関数方程式(微分方程式)∀x,f(x,y(x),y'(x),y''(x))=0などは、関数yに関する命題関数ではあっても、関数と関数を=で結んでないですよね？
    ここらへんがちょっと語が適当に決めらてる気がしません？

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