数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: テイラー展開、マクローリン展開の剰余項 / Page: 0]

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■34455 / inTopicNo.1)

　テイラー展開、マクローリン展開の剰余項

□投稿者/ みしん一般人(1回)-(2008/07/20(Sun) 04:41:05)

f(x)=√xをx=2の周りでテイラー展開せよという問題で収束範囲を求めるところで困っています。

f(x)をn回微分すると{(-1)^(n-1)}1・3・5・・・(2n-3)x^((1/2)-n)となりますよね？
すると剰余項は[{(-1)^(n)}1・3・5・・・(2n-1)x^((-1/2)-n)]x^(n+1)/(n+1)!
となりますよね？
よって収束範囲はこれがn→∞とした時に0に収束するようなxの範囲を求めればいいんですよね？
だとしたらどのように求めればいいのでしょうか？
この収束範囲を求める部分って結構大変だと思うのですが、参考書の解答にはここを求める過程がたいていかかれていないように思います。。。。
求め方に何か間違いがあるのでしょうか？それとももっと簡単な求め方があるのでしょうか？
ちなみに解答には｜(x-2)/2｜＜1、すなわち0＜x＜4とだけ書いてありましたが、意味が分かりませんでした。。。。

分かる方がいましたらよろしくお願いします。

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■34474 / inTopicNo.2)

　Re[1]: テイラー展開、マクローリン展開の剰余項

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□投稿者/ みしん一般人(3回)-(2008/07/20(Sun) 17:18:55)

どなたかわかるかたいらっしゃいませんか？・・・

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■34485 / inTopicNo.3)

　Re[1]: テイラー展開、マクローリン展開の剰余項

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□投稿者/ ip 一般人(2回)-(2008/07/20(Sun) 21:26:12)

■No34455に返信(みしんさんの記事)
> f(x)をn回微分すると{(-1)^(n-1)}1・3・5・・・(2n-3)x^((1/2)-n)となりますよね？
どういう手順でそうなると考えたのかはお書きで無いのでわかりませんが、そうはなりませんよね？さらに
> すると剰余項は[{(-1)^(n)}1・3・5・・・(2n-1)x^((-1/2)-n)]x^(n+1)/(n+1)!
> となりますよね？
はそもそも
> x=2の周りでテイラー展開
と言っている問題なのですから、まったく違うものを求めていることになります。実際の求める形は
$2$\sum a_k(x-2)^k + R_n$ , $2$a_k=f^{(k)}(2)/k!$ , $2$R_n=\frac{f^{(n)}(2+\theta (x-2))}{n!}(x-2)^n\,\ (0\le \theta \le 1)$
のようなものであるはずです（「～の周りで」とか「展開の中心」といった言葉にはちゃんと意味があります）が、あなたの求めたものはそういう形をしていません。
ここで、 $2$2+\theta (x-2)$ （ただし $2$0\le \theta \le 1$ ）は $2$2$ と $2$x$ との間に存在するある値を意味しています。

> この収束範囲を求める部分って結構大変だと思うのですが、
> (snip)
> ちなみに解答には|(x-2)/2| < 1
係数列の収束値が有限であれば、係数列の収束値の逆数が収束半径になる、という定理（アダマールだかだれかの名前が付いているはず）が教科書に載っていないでしょうか。

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■34516 / inTopicNo.4)

　Re[2]: テイラー展開、マクローリン展開の剰余項

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□投稿者/ みしん一般人(6回)-(2008/07/21(Mon) 19:19:50)

返信ありがとうございます。
ごめんなさい、思いっきり変なことを書いてしまいました。
見づらくなってしまうので正したものの画像を貼りますね。
今度は合っていますよね？・・・
ここでn→∞とするとき、R[n]→0に収束するようなxの範囲を求めればよいんですよね？

>係数列の収束値が有限であれば、係数列の収束値の逆数が収束半径になる、という定理（アダマールだかだれかの名前が付いているはず）が教科書に載っていないでしょうか。
コーシー・アダマールの公式のことでしょうか？それならば複素関数論の講義でやったのですが、初めてテイラー展開を習った微積分の講義の時にはやりませんでした。時期的にも微積分→複素関数論の順番の講義だったので、その公式を使わなくても求められるのだと思うのですが。。。

636×184 => 250×72

2008y07m21d_101502593.jpg/66KB

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■34532 / inTopicNo.5)

　Re[3]: テイラー展開、マクローリン展開の剰余項

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□投稿者/ ip 一般人(3回)-(2008/07/21(Mon) 23:16:58)

■No34516に返信(みしんさんの記事)
> コーシー・アダマールの公式のことでしょうか？
それはn乗根の上極限をとるやつのことですか（思わず調べてしまった）？なら、ちゃいます。私が頭に描いていたのは、係数列の隣り合う2項の比の極限を求めるというやり方で、実際本問ではそれで十分なはずです（で、収束半径はその比の極限値の逆数）。と、思って自分のレスを見返しましたら
> 係数列の収束値が有限
という間抜けな発言をしてしまってたんですね、すんません。

あと、本問とは直接関係ありませんけど、
> それならば複素関数論の講義でやったのですが、
> 初めてテイラー展開を習った微積分の講義の時にはやりませんでした。
> 時期的にも微積分→複素関数論の順番の講義だったので、
> その公式を使わなくても求められるのだと思うのですが。。。
という発言は、大学の講義というものをを大きく誤解しているんじゃないかと思いますが。ある講義の演習問題として出された問題が、当該の講義+αの内容であることなんてザラです（ちょろっと教科書読む程度で理解できるだろうという程度の「+α」はもちろんですが、いわゆる「発展問題」系統のものだとそこいらの教科書半分くらい読んでからしか分らんというようなこともあります）。

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■34540 / inTopicNo.6)

　Re[4]: テイラー展開、マクローリン展開の剰余項

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□投稿者/ みしん一般人(7回)-(2008/07/22(Tue) 01:06:49)

>係数列の隣り合う2項の比の極限を求めるというやり方
となると、ダランベールの公式という公式でしょうか？
教科書の一部抜粋しますね。

「S(z)=∑[n=0→∞]a[n]z^n (│z│＜R)
は円│z│=Rの内部の各店で収束し、その極限(=和)がS(z)であるとしよう。
べき級数が収束するような円の最大のものを、そのべき級数の収束円といい、その半径を収束半径と呼ぶ。
収束半径は係数a[n]から求められる。:
収束半径=1/lim[n→∞]│a[n]│^(1/n)　(コーシー・アダマールの公式)
=lim[n→∞]│a[n]/a[n+1]│　(ダランベールの公式)」

>あと、本問とは直接関係ありませんけど、
> それならば複素関数論の講義でやったのですが、
> 初めてテイラー展開を習った微積分の講義の時にはやりませんでした。
> 時期的にも微積分→複素関数論の順番の講義だったので、
> その公式を使わなくても求められるのだと思うのですが。。。
という発言は、大学の講義というものをを大きく誤解しているんじゃないかと思いますが。ある講義の演習問題として出された問題が、当該の講義+αの内容であることなんてザラです（ちょろっと教科書読む程度で理解できるだろうという程度の「+α」はもちろんですが、いわゆる「発展問題」系統のものだとそこいらの教科書半分くらい読んでからしか分らんというようなこともあります）。
すみません、認識に誤りがあったと思います。いかに受身的な姿勢で講義を受けていたかが改めて分かりました。

それで、ダランベールの公式というものは初めて使うのですが、早速使って計算してみたところ、
lim[n→∞]│a[n]/a[n+1]│=2
よって、│x-2│＜2　∴0＜x＜4
となり、解答と一致しました。
つまり、収束範囲はn→∞とするとき、R[n]→0に収束するようなxの範囲を求めればよいが、実際に計算する時にはダランベールの公式(またはコーシー・アダマールの公式)を使えばよいということでしょうか？・・・
何度も質問してしまいすみません。

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