数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[12]: 線積分・定積分・確率 / Page: 0]

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■33152 / inTopicNo.1)

　線積分・定積分・確率

□投稿者/ 葦一般人(2回)-(2008/05/18(Sun) 16:38:35)

こんばんは。また悩んでいる問題があったので、質問させていただきます。

【１】線積分
Ｃ：｜ $2$ z-1$ |= 2　のとき、次の線積分を求めよ。

$2$ \displaystyle\int_C {\left(\frac{e^z}{z^2(z^2 - 4)}\right)dx}$

まず、 $2$z^2(z^2-4)$ ＝０を計算して、z=0、２、-2が求まりました。ここでf(z)は３つの極z=±2、z=0をもち、Ｃの内部にあるのはZ=2、Z=0が出ましたが、Z=0の計算でどうしても分母が０になってしまい計算できません・・・
もしかしてZ=0は極ではないのですか？

【２】定積分
次の定積分を求めよ。
$2$ \displaystyle\int{\left(\frac{x\sin (bx)}{x^2+c^2}\right)dx}$
積分範囲：-∞　から　∞

答えはe^(-bc)πなんですが、どうやって求めるのでしょうか？

【３】確率統計
確率変数Ｘが $2$p_{k}$ =(1-λ)λ^k、k=0,1,2,・・・、0<λ<1を確率関数とするとき
（１）Ｘが偶数になる確率を求めよ。
（２）Ｘの母平均ν=Ｅ（Ｘ）を求めよ。

これも分かりません。

よろしくお願いします。

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■33154 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 線積分・定積分・確率

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□投稿者/ X ファミリー(191回)-(2008/05/18(Sun) 19:50:54)

2008/05/18(Sun) 19:54:06 編集(投稿者)

(1)
問題の被積分関数についてz=0は二次の極ですので、周回積分は0になります。

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■33156 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 線積分・定積分・確率

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□投稿者/ 葦一般人(3回)-(2008/05/18(Sun) 21:54:11)

つまり、（１）で
ｚ＝０は計算しなくてもよいのですか？

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■33157 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 線積分・定積分・確率

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□投稿者/ X ファミリー(193回)-(2008/05/19(Mon) 09:25:06)

計算そのものは不要ですが、
関数(e^z)/z^2のz=0における留数が0になる
ということは書いておく必要があります。

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■33158 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 線積分・定積分・確率

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□投稿者/ サボテンベテラン(222回)-(2008/05/19(Mon) 09:44:48)

z=0の計算は必要だと思います。
確かに1/z^2の2位の極ですが、e^z/z^2の1位の極は0ではありません。
e^z=1+z+O(z^2)なので、
e^z/z^2の留数は1となります。

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■33161 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 線積分・定積分・確率

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□投稿者/ X ファミリー(194回)-(2008/05/19(Mon) 13:41:22)

＞＞サボテンさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞葦さんへ
ごめんなさい。サボテンさんのご指摘通り、z=0に対する積分は0にはなりません。
恐らく、葦さんは留数を求める際
lim[z→0]zf(z) (A)
(但しf(z)=(e^z)/z^2)
を計算されたのだと思いますが、この場合は
e^z=1+z+(z^2)/2!+(z^3)/3!+…
により、
f(z)=(e^z)/z^2=1/z^2+1/z+1/2!+z/3!+… (B)
つまりf(z)はz=0において1位と2位の極を含むことになりますので、(A)の方法での計算はできません。

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■33162 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 線積分・定積分・確率

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□投稿者/ X ファミリー(195回)-(2008/05/19(Mon) 14:02:34)

(2)
複素積分で実関数の定積分を計算する応用問題ですが、一寸ひねってあります。
f(x)={xe^(ibx)}/(x^2+c^2)
と置き、複素数zの虚数部をIm[z]と表すことにすると
(与式)=Im[∫[-∞→∞]f(x)dx]
そこで
I=∫[-∞→∞]f(x)dx
を求める為に、複素積分
∫[C]f(z)dz
(C:z=t(t:-r→r),re^(it)(t:0→π),c<r)
(注)つまりCはf(z)の極の１つであるz=ciを内部に含む、原点中心の半径rの半円
を計算し、r→∞としてみましょう。

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■33178 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 線積分・定積分・確率

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□投稿者/ 葦一般人(4回)-(2008/05/20(Tue) 00:29:40)

１について自分なりの回答を記しました。

Ｃ：｜ $2$ z-1$ |= 2　のとき
$2$ \displaystyle\int_C {\left(\frac{e^z}{z^2(z^2 - 4)}\right)dx}$ ・・・(A)

まず $2$z^2(z^2-4)=0$ を求めて、 $2$z=0,-2,2$
$2$f(z)$ は２つの極 $2$z=2,-2$ をもち、Cの内部にあるものは $2$z=2$

よって、
(A)= $2$2\pi i({Res(f,2)})$
= $2$2\pi i{\left[ {\frac{e^z}{4z^3-8z^2}} \right]_{z=2}}$
= $2$\frac{\pi ie^2}{8}$

教科書（というかハンドアウト）に書かれてる答えは $2$\frac{\pi ie^2}{8}-\frac{\pi i}{2}$
でした。

---------------------------

おそらくz=0について計算がしていないので、本当の答えと食い違っていると思います・・・
でも、z=0も上と同じようにすると

----------------
(A)= $2$2\pi i({Res(f,2)+Res(f,0)})$
= $2$2\pi i({\left[ {\frac{e^z}{4z^3-8z^2}} \right]_{z=2}+\left[ {\frac{e^z}{4z^3-8z^2}} \right]_{z=0}})$

------------------------
となって計算が不可能になってしまいます・・・

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■33180 / inTopicNo.9)

　Re[7]: 線積分・定積分・確率

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□投稿者/ 葦一般人(5回)-(2008/05/20(Tue) 00:58:34)

続いて２についての自分なりに考えた回答です。
> 【２】定積分
> 次の定積分を求めよ。
> $2$ \displaystyle\int{\left(\frac{x\sin (bx)}{x^2+c^2}\right)dx}$
> 積分範囲：-∞　から　∞
>
> 答えはe^(-bc)π

---------------------------------------------
$2$f(z)=\displaystyle\int{\left(\frac{x\sin (bx)}{x^2+c^2}\right)dx}$ $2$(b,c>0)$ とすると、
上半平面にある $2$f(z)$ の特異点は $2$z=ci$ のみより、

$2$Res(f(z),i) = \left[ {\frac{e^{ibz}+ibze^{(-i)bz}}{2z}} \right]_{z=ci}$
$2$ = \frac{e^{(-b)c}- bce^{(-b)c}}{2ci}$

ここで公式
$2$\displaystyle\int{\left({f(x)} \right)dx} = 2\pi i\sum\limits_{k = 1}^m {Res(f(z),u_k)}$
を適用すると

$2$\displaystyle\int{\left(\frac{x\sin (bx)}{x^2+c^2}\right)dx}$
$2$ = 2\pi i\sum\limits_{k = 1}^m {Res(f(z),u_k)}$
$2$ = \frac{\pi (1-bc)e^{(-b)c}}{c}$
---------------------------------------------

本当は自分なりの回答を載せてから、指摘してもらったほうが手っ取り早かったりして・・・すみません。

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■33185 / inTopicNo.10)

　Re[8]: 線積分・定積分・確率

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□投稿者/ X ファミリー(196回)-(2008/05/20(Tue) 14:20:03)

(1)
まず確認ですが

z=aがf(z)の極のとき
lim[z→a](z-a)f(z)=lなる有限確定値lが存在⇒Res[f(z);z=a]=l (A)

はよろしいでしょうか？
ですが(A)の逆、つまり

Res[f(z);z=a]=l⇒lim[z→a](z-a)f(z)=l

は一般には成立しません。その反例が今回の
f(z)=(e^z)/{(z^2)(z^2-4)}
のz=0における留数の場合です。

で、問題の計算ですが、まず
lim[z→2](z-2)f(z)=lim[z→2](e^z)/{(z^2)(z+2)}=e^2/16
∴Res[f(z);z=2]=(e^2)/16 (B)
次にNo.33161の(B)の通り
(e^z)/z^2=1/z^2+1/z+1/2!+z/3!+…
ですので
f(z)={1/z^2+1/z+1/2!+z/3!+…}(e^z)/(z^2-4)
=(1/z^2)(e^z)/(z^2-4)+(1/z)(e^z)/(z^2-4)+(1/2!)(e^z)/(z^2-4)+… (C)
∴(C)の第二項に、つまり1/zの項に注目して
Res[f(z);z=0]=(e^z)/(z^2-4)|[z=0]=-1/4 (D)
注)(C)は1/z^2の項を含んでいるので(A)を用いた計算、つまり
lim[z→0]zf(z)
は葦さんの計算通り分母が∞になってしまい、使えません。

(B)(D)より
(与式)=2πi{Res[f(z);z=2]+Res[f(z);z=0]}
=2πi{(e^2)/16-1/4}
=(πie^2)/8-πi/2
となります。

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■33186 / inTopicNo.11)

　Re[9]: 線積分・定積分・確率

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□投稿者/ X ファミリー(197回)-(2008/05/20(Tue) 15:00:45)

2008/05/20(Tue) 15:01:35 編集(投稿者)

(2)
こちらから逆に質問します。
留数の計算過程で
{e^(ibz)+ibze^(-ibz)}/(2z)
なる式が出てきますが、これの導出過程を教えて下さい。

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■33208 / inTopicNo.12)

　Re[10]: 線積分・定積分・確率

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□投稿者/ 葦一般人(6回)-(2008/05/22(Thu) 00:56:34)

> ---------------------------------------------
> $2$f(z)=\displaystyle\int{\left(\frac{x\sin (bx)}{x^2+c^2}\right)dx}$ $2$(b,c>0)$ とすると、
> 上半平面にある $2$f(z)$ の特異点は $2$z=ci$ のみより、
>
> $2$Res(f(z),i) = \left[ {\frac{e^{ibz}+ibze^{(-i)bz}}{2z}} \right]_{z=ci}$

は、f(z)を微分したものにz=ciを代入する形なんですが・・・
計算ミスでした。
$2$Res(f(z),i) = \left[ {\frac{e^{ibz}+ibz^2e^{(-i)bz}}{2z}} \right]_{z=ci}$

の誤りでした。

申し訳ないです。

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■33214 / inTopicNo.13)

　Re[11]: 線積分・定積分・確率

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□投稿者/ X ファミリー(198回)-(2008/05/22(Thu) 13:14:53)

2008/05/22(Thu) 13:54:12 編集(投稿者)

(2)
問題のf(z)が
f(z)=(zsinbz)/(z^2+c^2)} (A)
のタイプミスと仮定して回答します。

そもそもこのf(z)の置き方が誤りです。
このようにf(z)を置いて、
C:z=t(t:-r→r),z=re^(it)(t:0→π)
(但しr>c)
なる積分路で
∫[C]f(z)dz
を計算し
r→∞
を考えても、
C':z=re^(it)(t:0→π)
なるC'に対し
∫[C']f(z)dz→0
とはなりません(計算してみて下さい)。従ってこの場合は
∫[-∞→∞]f(x)dx=2πi・Res[f(z);z=ci]
とはなりません。
ということで(A)の代わりに
f(z)={ze^(ibz)}/(z^2+c^2)
と置いてみましょう。

もう一点。
間違って置いたf(z)に対する計算過程の話ですのでどうかとも思いましたが、
書いておきます。

z=ciにおける(A)の留数の計算も誤っています。
恐らく(A)の分母がz^2+c^2になっていることから、
z=ciは(A)の二位の極
と見たと思われますが
(A)より
f(z)=(zsinbz)/{(z+ci)(z-ci)}
=(1/2)(sinbz)/(z+ci)+(1/2)(sinbz)/(z-ci)
∴z=ciは(A)の一位の極です。従って(A)を微分する必要はなく
Res[f(z);z=ci]=[(z-ci)f(z)]z=ci
で計算できます。

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■33228 / inTopicNo.14)

　Re[12]: 線積分・定積分・確率

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□投稿者/ 葦一般人(7回)-(2008/05/23(Fri) 10:14:55)

ありがとうごさいました。
やってみたいと思います。

解決済み!

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