数学ナビゲーター掲示板
(現在 過去ログ3 を表示中)

HOME HELP 新規作成 新着記事 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

[ 親記事をトピックトップへ ]

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

■33228 / inTopicNo.1)  Re[12]: 線積分・定積分・確率
  
□投稿者/ 葦 一般人(7回)-(2008/05/23(Fri) 10:14:55)
    ありがとうごさいました。
    やってみたいと思います。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■33214 / inTopicNo.2)  Re[11]: 線積分・定積分・確率
□投稿者/ X ファミリー(198回)-(2008/05/22(Thu) 13:14:53)
    2008/05/22(Thu) 13:54:12 編集(投稿者)

    (2)
    問題のf(z)が
    f(z)=(zsinbz)/(z^2+c^2)} (A)
    のタイプミスと仮定して回答します。

    そもそもこのf(z)の置き方が誤りです。
    このようにf(z)を置いて、
    C:z=t(t:-r→r),z=re^(it)(t:0→π)
    (但しr>c)
    なる積分路で
    ∫[C]f(z)dz
    を計算し
    r→∞
    を考えても、
    C':z=re^(it)(t:0→π)
    なるC'に対し
    ∫[C']f(z)dz→0
    とはなりません(計算してみて下さい)。従ってこの場合は
    ∫[-∞→∞]f(x)dx=2πi・Res[f(z);z=ci]
    とはなりません。
    ということで(A)の代わりに
    f(z)={ze^(ibz)}/(z^2+c^2)
    と置いてみましょう。

    もう一点。
    間違って置いたf(z)に対する計算過程の話ですのでどうかとも思いましたが、
    書いておきます。

    z=ciにおける(A)の留数の計算も誤っています。
    恐らく(A)の分母がz^2+c^2になっていることから、
    z=ciは(A)の二位の極
    と見たと思われますが
    (A)より
    f(z)=(zsinbz)/{(z+ci)(z-ci)}
    =(1/2)(sinbz)/(z+ci)+(1/2)(sinbz)/(z-ci)
    ∴z=ciは(A)の一位の極です。従って(A)を微分する必要はなく
    Res[f(z);z=ci]=[(z-ci)f(z)]z=ci
    で計算できます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■33208 / inTopicNo.3)  Re[10]: 線積分・定積分・確率
□投稿者/ 葦 一般人(6回)-(2008/05/22(Thu) 00:56:34)
    > ---------------------------------------------
    > とすると、
    > 上半平面にあるの特異点はのみより、
    >
    >

    は、f(z)を微分したものにz=ciを代入する形なんですが・・・
    計算ミスでした。


    の誤りでした。

    申し訳ないです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■33186 / inTopicNo.4)  Re[9]: 線積分・定積分・確率
□投稿者/ X ファミリー(197回)-(2008/05/20(Tue) 15:00:45)
    2008/05/20(Tue) 15:01:35 編集(投稿者)

    (2)
    こちらから逆に質問します。
    留数の計算過程で
    {e^(ibz)+ibze^(-ibz)}/(2z)
    なる式が出てきますが、これの導出過程を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■33185 / inTopicNo.5)  Re[8]: 線積分・定積分・確率
□投稿者/ X ファミリー(196回)-(2008/05/20(Tue) 14:20:03)
    (1)
    まず確認ですが

    z=aがf(z)の極のとき
    lim[z→a](z-a)f(z)=lなる有限確定値lが存在⇒Res[f(z);z=a]=l (A)

    はよろしいでしょうか?
    ですが(A)の逆、つまり

    Res[f(z);z=a]=l⇒lim[z→a](z-a)f(z)=l

    は一般には成立しません。その反例が今回の
    f(z)=(e^z)/{(z^2)(z^2-4)}
    のz=0における留数の場合です。

    で、問題の計算ですが、まず
    lim[z→2](z-2)f(z)=lim[z→2](e^z)/{(z^2)(z+2)}=e^2/16
    ∴Res[f(z);z=2]=(e^2)/16 (B)
    次にNo.33161の(B)の通り
    (e^z)/z^2=1/z^2+1/z+1/2!+z/3!+…
    ですので
    f(z)={1/z^2+1/z+1/2!+z/3!+…}(e^z)/(z^2-4)
    =(1/z^2)(e^z)/(z^2-4)+(1/z)(e^z)/(z^2-4)+(1/2!)(e^z)/(z^2-4)+… (C)
    ∴(C)の第二項に、つまり1/zの項に注目して
    Res[f(z);z=0]=(e^z)/(z^2-4)|[z=0]=-1/4 (D)
    注)(C)は1/z^2の項を含んでいるので(A)を用いた計算、つまり
    lim[z→0]zf(z)
    は葦さんの計算通り分母が∞になってしまい、使えません。

    (B)(D)より
    (与式)=2πi{Res[f(z);z=2]+Res[f(z);z=0]}
    =2πi{(e^2)/16-1/4}
    =(πie^2)/8-πi/2
    となります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■33180 / inTopicNo.6)  Re[7]: 線積分・定積分・確率
□投稿者/ 葦 一般人(5回)-(2008/05/20(Tue) 00:58:34)
    続いて2についての自分なりに考えた回答です。
    > 【2】定積分
    > 次の定積分を求めよ。
    >
    > 積分範囲:-∞ から ∞
    >
    > 答えはe^(-bc)π

    ---------------------------------------------
    とすると、
    上半平面にあるの特異点はのみより、




    ここで公式

    を適用すると




    ---------------------------------------------

    本当は自分なりの回答を載せてから、指摘してもらったほうが手っ取り早かったりして・・・すみません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■33178 / inTopicNo.7)  Re[6]: 線積分・定積分・確率
□投稿者/ 葦 一般人(4回)-(2008/05/20(Tue) 00:29:40)
    1について自分なりの回答を記しました。

    C:| |= 2 のとき
    ・・・(A)

    まずを求めて、
    は2つの極をもち、Cの内部にあるものは

    よって、
    (A)=
    =
    =

    教科書(というかハンドアウト)に書かれてる答えは
    でした。

    ---------------------------

    おそらくz=0について計算がしていないので、本当の答えと食い違っていると思います・・・
    でも、z=0も上と同じようにすると

    ----------------
    (A)=
    =

    ------------------------
    となって計算が不可能になってしまいます・・・
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■33162 / inTopicNo.8)  Re[5]: 線積分・定積分・確率
□投稿者/ X ファミリー(195回)-(2008/05/19(Mon) 14:02:34)
    (2)
    複素積分で実関数の定積分を計算する応用問題ですが、一寸ひねってあります。
    f(x)={xe^(ibx)}/(x^2+c^2)
    と置き、複素数zの虚数部をIm[z]と表すことにすると
    (与式)=Im[∫[-∞→∞]f(x)dx]
    そこで
    I=∫[-∞→∞]f(x)dx
    を求める為に、複素積分
    ∫[C]f(z)dz
    (C:z=t(t:-r→r),re^(it)(t:0→π),c<r)
    (注)つまりCはf(z)の極の1つであるz=ciを内部に含む、原点中心の半径rの半円
    を計算し、r→∞としてみましょう。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■33161 / inTopicNo.9)  Re[5]: 線積分・定積分・確率
□投稿者/ X ファミリー(194回)-(2008/05/19(Mon) 13:41:22)
    >>サボテンさんへ
    ご指摘ありがとうございます。
    >>葦さんへ
    ごめんなさい。サボテンさんのご指摘通り、z=0に対する積分は0にはなりません。
    恐らく、葦さんは留数を求める際
    lim[z→0]zf(z) (A)
    (但しf(z)=(e^z)/z^2)
    を計算されたのだと思いますが、この場合は
    e^z=1+z+(z^2)/2!+(z^3)/3!+…
    により、
    f(z)=(e^z)/z^2=1/z^2+1/z+1/2!+z/3!+… (B)
    つまりf(z)はz=0において1位と2位の極を含むことになりますので、(A)の方法での計算はできません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■33158 / inTopicNo.10)  Re[4]: 線積分・定積分・確率
□投稿者/ サボテン ベテラン(222回)-(2008/05/19(Mon) 09:44:48)
    z=0の計算は必要だと思います。
    確かに1/z^2の2位の極ですが、e^z/z^2の1位の極は0ではありません。
    e^z=1+z+O(z^2)なので、
    e^z/z^2の留数は1となります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■33157 / inTopicNo.11)  Re[3]: 線積分・定積分・確率
□投稿者/ X ファミリー(193回)-(2008/05/19(Mon) 09:25:06)
    計算そのものは不要ですが、
    関数(e^z)/z^2のz=0における留数が0になる
    ということは書いておく必要があります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■33156 / inTopicNo.12)  Re[2]: 線積分・定積分・確率
□投稿者/ 葦 一般人(3回)-(2008/05/18(Sun) 21:54:11)
    つまり、(1)で
    z=0は計算しなくてもよいのですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■33154 / inTopicNo.13)  Re[1]: 線積分・定積分・確率
□投稿者/ X ファミリー(191回)-(2008/05/18(Sun) 19:50:54)
    2008/05/18(Sun) 19:54:06 編集(投稿者)

    (1)
    問題の被積分関数についてz=0は二次の極ですので、周回積分は0になります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■33152 / inTopicNo.14)  線積分・定積分・確率
□投稿者/ 葦 一般人(2回)-(2008/05/18(Sun) 16:38:35)
    こんばんは。また悩んでいる問題があったので、質問させていただきます。

    【1】線積分
    C:| |= 2 のとき、次の線積分を求めよ。



    まず、 =0を計算して、z=0、2、-2が求まりました。ここでf(z)は3つの極z=±2、z=0をもち、Cの内部にあるのはZ=2、Z=0が出ましたが、Z=0の計算でどうしても分母が0になってしまい計算できません・・・
    もしかしてZ=0は極ではないのですか?

    【2】定積分
    次の定積分を求めよ。

    積分範囲:-∞ から ∞

    答えはe^(-bc)πなんですが、どうやって求めるのでしょうか?

    【3】確率統計
    確率変数Xが=(1-λ)λ^k、k=0,1,2,・・・、0<λ<1を確率関数とするとき
    (1)Xが偶数になる確率を求めよ。
    (2)Xの母平均ν=E(X)を求めよ。

    これも分かりません。

    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/



トピック内ページ移動 / << 0 >>
Mode/  Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター