 | 2008/03/05(Wed) 13:19:27 編集(投稿者)
> x^2+2x+1=0を(x+1)^2=0に同値変形できるのは、∀x∈R,x^2+2x+1=0=(x+1)^2・・・①が成立するからで、①の根拠が、交換結合分配法則ってことですよね？
∀x∈R,x^2+2x+1=0=(x+1)^2
は成立しませんので恒等式ではありません。
∀x∈R,x^2+2x+1=(x+1)^2
の根拠として交換結合分配則（この場合、積の可換性はいりませんが）を用いてます。
> {(1/4)x^4+x^3+3x^2+2x}'=x^3+3x^2+2=x(x^2+3x+2)=x(x+1)(x+2)を全て関数等式とした場合そこで行われている推論は、（左から、関数をそれぞれf,g,h,iとします)
> ∀x,∈R.f'(x)=g(x)が真・・① f,g∈MAP(A,B)・・② f'=g ・・①'
> ∀x,∈R. g(x)=h(x)が真・・③ g,h∈MAP(A,B)・・④ g=h・・③'
> ∀x,∈R. h(x)=i(x)が真・・⑤ h,i∈MAP(A,B)・・⑥ h=i・・⑤'
> ∀x,∈R.f'(x)=i(x)が真・・⑦ f'i,∈MAP(A,B)・・⑧ f'=i・・⑦'
> とすると、
>
> ①が真。①∧②→①'が真。∴①'
> ③が真。③∧④→③'が真。∴③'
> ⑤が真。⑤∧⑥→⑤'が真。∴⑤''より⑦'(結論) となりますが、
> ①∧③∧⑤→⑦が真 ∴⑦が真
> ⑦∧⑧→⑦'が真 ∴⑦'が真
>
> 恒等式の同値変形で考えれば
>
> ①が真。
> ③が真。
> ⑤が真。
> ①∧③∧⑤→⑦が真 ∴⑦
> ⑦∧⑧→⑦'が真 ∴⑦'
厳密な議論のときに、②、④、⑥、⑧の分だけ余分ということでしょうか？
ほとんど自明なことですので、あまり気にしなくても・・・と思いますが、これでは「関数等式」は何のためにあるのかということになるので補足しておくと、
「恒等式」は変数に対してのいつでも成り立つというということですが、関数自体に注目することで変数などをいちいち気にしなくてよくなります。（任意の実数に対してf(x)=g(x)が...などいわなくても、f=ｇの一言で終わる。）専門外なので、やや自信がないのですが、関数を点としてみる空間などを考えることができ、それらに完備な距離を入れられたりと、議論をする上で簡単になるわけです。
高校数学程度で与えられる空間などは や など限られたものしか扱わないため「関数等式」を考える意味はあまりなくむしろyyさんが感じているように余分な概念のように感じるのかもしれませんが、解析学などでは非常に重要な概念となります。
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