数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[23]: 数学用語について / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ3 を表示中)

[ 親記事をトピックトップへ ]

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

■32010 / inTopicNo.1)

　Re[24]: 数学用語について

▼■

□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(96回)-(2008/03/07(Fri) 13:29:59)

$2$A_f$ というのは $2$f$ による $2$A$ の像 $2$f(A)$ のことですか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■32002 / inTopicNo.2)

　Re[23]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ yy 一般人(10回)-(2008/03/07(Fri) 01:29:48)

「A_f=A_g∧B_f=B_g∧G_f=G_gのときf=gと定義する」は
「A_f=A_g∧B_f=B_g∧G_f=G_gの⇔f=gと定義する」であって
「(A_f=A_g∧B_f=B_g∧G_f=G_g)を(f=g)と定義する」という意味じゃないだろうに。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■32000 / inTopicNo.3)

　Re[23]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(95回)-(2008/03/06(Thu) 23:29:12)

> 素元分解整域あるいは一意分解環 (UFD) ですね (PID は主イデアル整域あるいは単項イデアル整域, まあ PID ならば UFD だが).

補足ありがとうございます。
おっしゃるとおりUFDの間違いです;

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■31999 / inTopicNo.4)

　Re[22]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ x 一般人(42回)-(2008/03/06(Thu) 22:56:26)

念のため言っておくが, 「函数等式」という数学用語は複素解析の用語としてきちんと別にあって, 函数同士の等式という意味とは異なる. また, 多項式は `定義域' を決めて `代入' を行うことにより函数を定めるけれども, それ自身は函数ではない. 「函数が等しい」というのは, それらの定義域上で恒等的に値が等しいという意味（その意味では「恒等式」とまったく違うところが無い）であり, 例えば実函数においてであれば多項式函数が等しいことと多項式として等しいということとは同値であるが, 有限体などもっと一般の環上の多項式では, 多項式として異なるにも関わらず同じ函数を定めるものが存在する. いっぽう方言「恒等式」は, 高校まで「実数」という実体をまったく表に出さない無駄な教育努力によって, 実係数多項式として等しいということを言い表すための用語として便宜的に用いられているのに過ぎない. 少なくとも「どの集合上で」ということを抜きにして `恒等的に等しい式' と言っても, その言及は意味を成してはいない. そして, 暗黙にでも実函数に関する話である (もう少し一般の設定でもいいが) という前提になっている文脈では, f = g すなわち `函数 f, g が等しい' ということの ***定義*** が `f(x) = g(x) が恒等式' となるということなので, これらを区別しようということ自体がハジメから間違っている.

> 素元分解一意整域(PID)

素元分解整域あるいは一意分解環 (UFD) ですね (PID は主イデアル整域あるいは単項イデアル整域, まあ PID ならば UFD だが).

# 質問者はあちこちで同じことを訊き, ほとんど同じような答えを受けているのに, 何も聞き入れる気が無いと見える. 質問者は幾度と無く「函数として等しいのか恒等式なのか」と問いかけ, 「`函数として等しい' ということの定義を確認せよ, 質問の無意味さがわかる」と教えられているにもかかわらず, 漠然と違うものだと捉える自身の感覚を大前提に置いているのだから, 何も話が進むはずが無い.

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■31998 / inTopicNo.5)

　Re[22]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(94回)-(2008/03/06(Thu) 22:47:59)

> 因数分解が多項式(関数)fの変形であるのなら、その公式は
> 関数等式ということになるのかなと思いまして。

とみることもことも可能です。

関数等式 $2$f=g$ が得られるためには $2$f(x)=g(x) (for any\quad x\in A)$ であることをいわなければなりませんが、これは恒等式そのものです。

逆に言えばある恒等式 $2$f(x)=g(x)$ （これは一般的な書き方ではありませんが）が得られたときに、それを関数等式 $2$f=g$ とみなせるわけです。

いま因数分解で恒等式を得られたので、上のことから関数等式をみなすことが『可能』ということですが、あんまりそのような考え方をしないかと・・

> ただ単に、積の形で書かれたものを使って恒等式をつくることが因数分解なんですかね？

単に積に、というのわけではありません。
$2$x^3-x=x(x^2-1)$
は積の形ですが因数分解とはいえませんよね。
定義どおりですね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■31989 / inTopicNo.6)

　Re[21]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ yy 一般人(9回)-(2008/03/06(Thu) 19:19:03)

因数分解が多項式(関数)fの変形であるのなら、その公式は
関数等式ということになるのかなと思いまして。
ただ単に、積の形で書かれたものを使って恒等式をつくることが因数分解なんですかね？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■31980 / inTopicNo.7)

　Re[20]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(93回)-(2008/03/06(Thu) 14:41:10)

2008/03/06(Thu) 14:41:42 編集(投稿者)

> では因数分解公式などは恒等式というより関数等式なんですかね？

$2$f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)g(x)$

私は $2$f$ ではなく $2$f(x)$ と書かれていることからも、むしろ恒等式のようにおもえるのですが、どの点で関数等式に感じられましたか？
（まあ、どっちに関しても間違いではないと思うのでどっちがより自然かという話になりますが）

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■31979 / inTopicNo.8)

　Re[19]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ yy 一般人(8回)-(2008/03/06(Thu) 13:20:29)

そうなんだ・・
では因数分解公式などは恒等式というより関数等式なんですかね？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■31965 / inTopicNo.9)

　Re[18]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(92回)-(2008/03/05(Wed) 23:11:13)

そうです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■31963 / inTopicNo.10)

　Re[17]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ yy 一般人(7回)-(2008/03/05(Wed) 22:39:27)

あの、多項式って関数の一種なんでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■31961 / inTopicNo.11)

　Re[16]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(91回)-(2008/03/05(Wed) 18:05:06)

2008/03/05(Wed) 18:10:31 編集(投稿者)

> lim,()',∫dxなどは値域を関数とする関数の関数ですよね。
> だからlimx^2や(x^2),∫x^2dxはlim<x→x^2>,(<x→x^2>)'∫(<x→x^2>)dxなどと
> 書かなくていいんでしょうか？

確かに合成写像ともみなせますが、そのような表記はほとんどしないかと思います。
$2$f:x \rightarrow \lim_{x\rightarrow a}x,g:x\rightarrow x^2$
として
$2$f\circ g$ を考えることもできるわけです。

> 因数分解の定義がいまいちわかりません。
> x^2+2x+1を因数分解するとは<x→x^2+2x+1>という関数を<x→(x+1)^2>という
> 表記に直すことを言うわけではないんですか？

因数分解は多項式に定義されるものです。抽象的なものまで考えると意外に難しいですが

$2$k$ 係数多項式 $2$f$ を $2$R$ 上で因数分解するとは
$2$a_1,..a_n \in R$ なる $2$f$ の零点と $2$R$ 上０とはならない $2$g(x)\in k[x]$ があり、 $2$f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)g(x)$
と書くことです。

(注) $2$R$ が素元分解一意整域(PID)であることは仮定してます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■31960 / inTopicNo.12)

　Re[15]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ yy 一般人(6回)-(2008/03/05(Wed) 17:31:07)

モノトーンさん詳しそうなので、いくつか用語(記法)について質問させてください。

lim,()',∫dxなどは値域を関数とする関数の関数ですよね。
だからlimx^2や(x^2),∫x^2dxはlim<x→x^2>,(<x→x^2>)'∫(<x→x^2>)dxなどと
書かなくていいんでしょうか？

因数分解の定義がいまいちわかりません。
x^2+2x+1を因数分解するとは<x→x^2+2x+1>という関数を<x→(x+1)^2>という
表記に直すことを言うわけではないんですか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■31959 / inTopicNo.13)

　Re[14]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ yy 一般人(5回)-(2008/03/05(Wed) 17:14:25)

一番上の=0はミスです、すみません。

はい、推論過程を細かくみると、②④⑥⑧を考える必要があるので(自明ですが)余計なことをしてる気がして・・。決して関数等式を無意味といってるわけではありません。(微分方程式などもありますし)

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■31956 / inTopicNo.14)

　Re[13]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(90回)-(2008/03/05(Wed) 13:17:28)

2008/03/05(Wed) 13:19:27 編集(投稿者)

> x^2+2x+1=0を(x+1)^2=0に同値変形できるのは、∀x∈R,x^2+2x+1=0=(x+1)^2・・・①が成立するからで、①の根拠が、交換結合分配法則ってことですよね？

∀x∈R,x^2+2x+1=0=(x+1)^2

は成立しませんので恒等式ではありません。

∀x∈R,x^2+2x+1=(x+1)^2

の根拠として交換結合分配則（この場合、積の可換性はいりませんが）を用いてます。

> {(1/4)x^4+x^3+3x^2+2x}'=x^3+3x^2+2=x(x^2+3x+2)=x(x+1)(x+2)を全て関数等式とした場合そこで行われている推論は、（左から、関数をそれぞれf,g,h,iとします)
> ∀x,∈R.f'(x)=g(x)が真・・①　f,g∈MAP(A,B)・・②　　f'=g ・・①'
> ∀x,∈R. g(x)=h(x)が真・・③　g,h∈MAP(A,B)・・④ g=h・・③'
> ∀x,∈R. h(x)=i(x)が真・・⑤　h,i∈MAP(A,B)・・⑥ h=i・・⑤'
> ∀x,∈R.f'(x)=i(x)が真・・⑦　f'i,∈MAP(A,B)・・⑧ f'=i・・⑦'
> とすると、
>
> ①が真。①∧②→①'が真。∴①'
> ③が真。③∧④→③'が真。∴③'
> ⑤が真。⑤∧⑥→⑤'が真。∴⑤''より⑦'(結論) となりますが、
> ①∧③∧⑤→⑦が真　∴⑦が真　
> ⑦∧⑧→⑦'が真　∴⑦'が真
>
> 恒等式の同値変形で考えれば
>
> ①が真。
> ③が真。
> ⑤が真。
> ①∧③∧⑤→⑦が真　∴⑦
> ⑦∧⑧→⑦'が真　∴⑦'

厳密な議論のときに、②、④、⑥、⑧の分だけ余分ということでしょうか？
ほとんど自明なことですので、あまり気にしなくても・・・と思いますが、これでは「関数等式」は何のためにあるのかということになるので補足しておくと、

「恒等式」は変数に対してのいつでも成り立つというということですが、関数自体に注目することで変数などをいちいち気にしなくてよくなります。（任意の実数に対してf(x)=g(x)が...などいわなくても、f=ｇの一言で終わる。）専門外なので、やや自信がないのですが、関数を点としてみる空間などを考えることができ、それらに完備な距離を入れられたりと、議論をする上で簡単になるわけです。

高校数学程度で与えられる空間などは $2$\mathbb{C}$ や $2$\mathbb{R}^2$ など限られたものしか扱わないため「関数等式」を考える意味はあまりなくむしろyyさんが感じているように余分な概念のように感じるのかもしれませんが、解析学などでは非常に重要な概念となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■31951 / inTopicNo.15)

　Re[13]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ yy 一般人(3回)-(2008/03/05(Wed) 11:56:26)

すみません。真ん中あたりの

'より⑦'(結論) となりますが、

は余計でしたorz

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■31950 / inTopicNo.16)

　Re[12]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ yy 一般人(2回)-(2008/03/05(Wed) 11:53:25)

同値変形って方程式の変形のことを言ってるんですよ？
x^2+2x+1=0を(x+1)^2=0に同値変形できるのは、∀x∈R,x^2+2x+1=0=(x+1)^2・・・①が成立するからで、①の根拠が、交換結合分配法則ってことですよね？

{(1/4)x^4+x^3+3x^2+2x}'=x^3+3x^2+2=x(x^2+3x+2)=x(x+1)(x+2)を全て関数等式とした場合そこで行われている推論は、（左から、関数をそれぞれf,g,h,iとします)
∀x,∈R.f'(x)=g(x)が真・・①　f,g∈MAP(A,B)・・②　　f'=g ・・①'
∀x,∈R. g(x)=h(x)が真・・③　g,h∈MAP(A,B)・・④ g=h・・③'
∀x,∈R. h(x)=i(x)が真・・⑤　h,i∈MAP(A,B)・・⑥ h=i・・⑤'
∀x,∈R.f'(x)=i(x)が真・・⑦　f'i,∈MAP(A,B)・・⑧ f'=i・・⑦'
とすると、

①が真。①∧②→①'が真。∴①'
③が真。③∧④→③'が真。∴③'
⑤が真。⑤∧⑥→⑤'が真。∴⑤''より⑦'(結論) となりますが、
①∧③∧⑤→⑦が真　∴⑦が真　
⑦∧⑧→⑦'が真　∴⑦'が真

恒等式の同値変形で考えれば

①が真。
③が真。
⑤が真。
①∧③∧⑤→⑦が真　∴⑦
⑦∧⑧→⑦'が真　∴⑦'

関数等式の方は恒等式で解く場合に比べ余計な推論をしていませんか？
長文すみませんm(..)m

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■31948 / inTopicNo.17)

　Re[11]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(89回)-(2008/03/05(Wed) 01:52:02)

2008/03/05(Wed) 16:45:20 編集(投稿者)

> 同値変形が可能なのは、∀x∈R.x^2+2x+1=(x+1)^2ということを根拠としてるからですよね。

同値変形は結合法則や分配法則の繰り返し（実数が環であることの性質を使っている）で得られたものです。
結果として『∀x∈R.x^2+2x+1=(x+1)^2』が得られたので、根拠としているわけではありません。

> ただ、導関数を求めた後の式変形をすべて関数等式と見ると、式変形する度に
> ∀a,f(a)=g(a) + f,g∈MAP(A,B)を考慮にいれないといけないから、
> ただの、∀a,f(a)=g(a)のみを根拠とする恒等変形に比べて無駄なことをしてるということになりますよね？

その関数が $2$C^1$ 級であるならば、いちいち $2$f,g\in Map(A,B)$ かは考えなくてもよいかと思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■31946 / inTopicNo.18)

　Re[10]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ yy 一般人(1回)-(2008/03/05(Wed) 01:02:08)

やっぱ逆でしたか。
同値変形が可能なのは、∀x∈R.x^2+2x+1=(x+1)^2ということを根拠としてるからですよね。
ただ、導関数を求めた後の式変形をすべて関数等式と見ると、式変形する度に
∀a,f(a)=g(a) + f,g∈MAP(A,B)を考慮にいれないといけないから、
ただの、∀a,f(a)=g(a)のみを根拠とする恒等変形に比べて無駄なことをしてるということになりますよね？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■31944 / inTopicNo.19)

　Re[9]: 数学用語について

▲▼■

□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(88回)-(2008/03/04(Tue) 23:34:42)

> 「関数x^2+2x+1と関数(x+1)^2が等しい、故に∀x∈R.x^2+2x+1=(x+1)^2なので
> 後者は前者の必十条件である」と考えたいところなんですが、

おそらく定義と逆ではないでしょうか。
∀x∈R.x^2+2x+1=(x+1)^2が成り立つので、関数x^2+2x+1と関数(x+1)^2が等しいといえるはずです。

関数が等しいの定義は

$2$f,g\in Map(A,B),\forall a\in A,f(a)=g(a)$ ⇔ $2$f=g$

で慣例的には、始集合と終集合が明らかな場合は省略します。
ここで $2$Map(A,B)$ はAからBへの写像（関数）の集合です。

ではなぜ、 $2$x^2+2x+1=(x+1)^2$ がなりたつのかというとらすかるさんがかかれているような恒等変形が成り立つためです。
もっと厳密にいえば、この恒等変形がなりたつのは結合法則、分配法則など演算として基礎となる法則が成り立ってるためです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■31939 / inTopicNo.20)

　Re[9]: 数学用語について

▲　■

□投稿者/ らすかるベテラン(224回)-(2008/03/04(Tue) 20:39:19)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞x^2+2x+1=0を(x+1)^2=0と変形できるのはなぜか

x^2+2x+1=x^2+x+x+1=x(x+1)+(x+1)=(x+1)(x+1)=(x+1)^2 のように変形できて
すべて同値変形だから

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

次の20件＞

トピック内ページ移動 / << 0 | 1 >>

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター