 | 条件から
∠AOB<π/2
で点Pは、長さが大きい方の弧ABの上にあることに注意して図を描きましょう。
(1)
△OPQ,△OAQに注目することにより
∠POQ=∠AOQ=θ (A)
同様に△OPR,△OARに注目することにより
∠POR=∠AOQ=φ (B)
一方
∠POR+∠AOQ∠POQ+∠AOQ+∠AOB=2π (C)
(A)(B)(C)より
2(θ+φ)+∠AOB=2π
∴θ+φ=π-∠AOB/2
ですので…。
(2)
問題の四角形を
△POQ,△POR,△BOR,△AOQ,△AOB
に分割して面積を計算します。
こちらの計算では
S=tanθ+tanφ+(2/9)√5
となりました。
(3)
前半)
(2)の結果を使うと
tanθ+tanφ=4√5 (A)
両辺にcosθcosφをかけると
sinθcosφ+cosθsinφ=4√5cosθcosφ
つまり
cos(θ+φ)=4√5cosθcosφ
これに(1)の結果を使います。
後半)
△OAPの面積をSとすると
S=(1/2)sin2θ=sinθcosθ
つまりsinθ,cosθの値を求めればよいことが分かります。
ここで前半の結果から
tanθtanφ=(sinθsinφ)/(cosθcosφ)=… (B)
(A)(B)から解と係数の関係を使うとtanθ、tanφは…。
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