| 条件から ∠AOB<π/2 で点Pは、長さが大きい方の弧ABの上にあることに注意して図を描きましょう。 (1) △OPQ,△OAQに注目することにより ∠POQ=∠AOQ=θ (A) 同様に△OPR,△OARに注目することにより ∠POR=∠AOQ=φ (B) 一方 ∠POR+∠AOQ∠POQ+∠AOQ+∠AOB=2π (C) (A)(B)(C)より 2(θ+φ)+∠AOB=2π ∴θ+φ=π-∠AOB/2 ですので…。
(2) 問題の四角形を △POQ,△POR,△BOR,△AOQ,△AOB に分割して面積を計算します。 こちらの計算では S=tanθ+tanφ+(2/9)√5 となりました。
(3) 前半) (2)の結果を使うと tanθ+tanφ=4√5 (A) 両辺にcosθcosφをかけると sinθcosφ+cosθsinφ=4√5cosθcosφ つまり cos(θ+φ)=4√5cosθcosφ これに(1)の結果を使います。
後半) △OAPの面積をSとすると S=(1/2)sin2θ=sinθcosθ つまりsinθ,cosθの値を求めればよいことが分かります。 ここで前半の結果から tanθtanφ=(sinθsinφ)/(cosθcosφ)=… (B) (A)(B)から解と係数の関係を使うとtanθ、tanφは…。
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