数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 複合された関数の積分 / Page: 0]

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■30307 / inTopicNo.1)

　複合された関数の積分

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□投稿者/ もの一般人(1回)-(2007/12/21(Fri) 00:49:32)

$2$\displaystyle\int_0^\pi \frac{x \cos x}{1+\sin ^2 x dx$
が解けません
xが厄介です
ヒントだけでも教えていただけないでしょうか

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■30308 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 複合された関数の積分

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□投稿者/ もの一般人(2回)-(2007/12/21(Fri) 00:51:01)

■No30307に返信(ものさんの記事)
$2$\displaystyle\int_0^\pi \frac{x \cos x}{1+\sin ^2 x} dx$
あ、こうですね
ミステイクです

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■30314 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 複合された関数の積分

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□投稿者/ X 一般人(43回)-(2007/12/21(Fri) 17:51:40)

f(x)=(xcosx)/{1+(sinx)^2}
が偶関数であることを使います
x-π=t
と置くと
(与式)=∫[-π→0][(t+π)(-cost)/{1+(sint)^2}]dt
∴
A=∫[0→π][(xcosx)/{1+(sinx)^2}]dx
B=∫[-π→0][(xcosx)/{1+(sinx)^2}]dx
と置くと
A=-B-π∫[-π→0][(cost)/{1+(sint)^2}]dt (A)
一方、f(x)は偶関数ですので
A=B (B)
(A)(B)から
A=-(π/2)∫[-π→0][(cost)/{1+(sint)^2}]dt
後はsint=uと置いて置換積分します。

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■30315 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 複合された関数の積分

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□投稿者/ もの一般人(4回)-(2007/12/22(Sat) 00:09:48)

■No30314に返信(Xさんの記事)
方針に関しては非常にわかりやすかったです
ありがとうございます

一つ疑問なんですが

> f(x)=(xcosx)/{1+(sinx)^2}
> が偶関数であることを使います
とありますが
xは奇関数
$2$\cos x$ は偶関数
1は偶関数
$2$\sin x$ は奇関数で $2$\sin ^2x$ は偶関数
となって全体では奇関数となるような気がします
自分の考え違いかもしれませんが
どうでしょうか？

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■30316 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 複合された関数の積分

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□投稿者/ X 一般人(44回)-(2007/12/22(Sat) 10:23:45)

ごめんなさい。確かにf(x)は奇関数ですね。
私の計算は誤りですので無視して下さい。

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■30327 / inTopicNo.6)

　（削除）

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□投稿者/ -(2007/12/23(Sun) 14:07:23)

この記事は(投稿者)削除されました

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■30328 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 複合された関数の積分

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス一般人(25回)-(2007/12/23(Sun) 14:38:25)

ものさんからの問題ですが、ひそかにずっと悩んでいます...

Ｘさん、すぃりぃすさんの方針でできそうなのですが…

> f(x)=(xcosx)/{1+(sinx)^2}
> (t=π-x,{与式}=Iと置く)
>
> I=∫[π→0]((π-t)cos(π-t))/{1+(sin(π-t))^2}dx
> =∫[π→0]((t-π)cost)/{1+(sint)^2}dx
> =π∫[0→π](cost)/{1+(sint)^2}dx-∫[0→π](tcost)/{1+(sint)^2}dx

置換する際に $2$dx=-dt$ を代入したらこの式は
$2$I=-\pi\displaystyle\int_0^\pi\frac{\cos {t}}{1+\sin ^2{t}}dt+I$ にならないでしょうか？

私の見当違いであれば申し訳ないです。

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■30333 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 複合された関数の積分

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□投稿者/ miyup ファミリー(182回)-(2007/12/23(Sun) 16:53:09)

■No30328に返信(モノトーン・コンバージェンスさんの記事)
> $2$I=-\pi\displaystyle\int_0^\pi\frac{\cos {t}}{1+\sin ^2{t}}dt+I$ にならないでしょうか？
なりますね。
$2$\displaystyle\int_0^\pi\frac{\cos {t}}{1+\sin ^2{t}}dt=0$
です。

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■30334 / inTopicNo.9)

　Re[7]: 複合された関数の積分

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□投稿者/ 。すぃりぃす。一般人(3回)-(2007/12/23(Sun) 17:07:42)

2007/12/23(Sun) 17:12:24 編集(投稿者)

あ、ミスです、失礼しました。削除しておきます。

Mathematicaで計算してみると、

\!${1\/2\ ArcSin[\@\(1\/2 - \[ImaginaryI]\/2$]\ $(π - \[ImaginaryI]\ Log[3 \
- 2\ \@2])$ - \[IndentingNewLine]ArcSin[\@$1\/2 + \[ImaginaryI]\/2$]\ $(2\
\ ArcTan[\((\(-1$)\)\^$1/4$] + \[ImaginaryI]\ Log[3 - 2\ \@2])\) +
PolyLog[2, 3 - 2\ \@2] - 4\ PolyLog[2, $-1$ + \@2]}\)となりました。

?? PolyLog
PolyLog[n, z]は，zのn次多重対数関数を与える．PolyLog[n, p, \
z]はパラメータnとpについて，ニールセン(Nielsen)の一般化されたzの多重対数関数を与える．

PolyLogが入っているので簡単にはならないようです。

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■30335 / inTopicNo.10)

　Re[1]: 複合された関数の積分

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□投稿者/ ＤＡＮＤＹ　Ｕ付き人(52回)-(2007/12/23(Sun) 18:43:13)

解けていないのですが、関数電卓では近似値が　4.9237 とでました。

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■30337 / inTopicNo.11)

　Re[2]: 複合された関数の積分

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□投稿者/ らすかる付き人(87回)-(2007/12/23(Sun) 22:09:55)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

定積分の結果なら、-1.69058170037664367320… では？