数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 約数の総和 / Page: 0]

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■29935 / inTopicNo.1)

　約数の総和

□投稿者/ satsuma 一般人(6回)-(2007/12/04(Tue) 23:12:26)

$2$n:$ 自然数
$2$n=a_{1}^{p_{1}}a_{2}^{p_{2}}\cdots a_{m}^{p_{m}}(a_{1}$ ～ $2$a_{m}$ は素数 $2$)$
$2$n$ の約数の総和は
$2$(1+a_{1}+\cdots+a_{1}^{p_{1}})(1+a_{2}+\cdots+a_{2}^{p_{2}})\cdots(1+a_{m}+\cdots+a_{m}^{p_{m}})$

となるという事実があるのですが、
頑張って展開してみれば確かにそうなると思うし、
小さな数でやってみても、因数分解をしてこの式を導くことは確かにできるのですが、
一般化したときに、これはどのように理解すればよいのでしょうか。
私の中にこの事実をすんなり受け入れることがなかなか出来ません。
検索してみてもたとえば12でやってみたり小さなスケールでお話をされているものしか
見つけることが出来ませんでした。
小さな数でも大きな数でも同じと言われるかもしれませんが、
なんか、それでは数学ではないような気がします。
どのように、理解していけばよいでしょうか。
どなたかよろしくお願いします。

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■29937 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 約数の総和

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□投稿者/ miyup 軍団(129回)-(2007/12/04(Tue) 23:32:19)

2007/12/04(Tue) 23:37:08 編集(投稿者)

例えば 72=2^3×3^2 について、約数の全ては 2^3, 3^2 の約数の組み合わせでつくられます。

 2^3   3^2     約数は        これらを全て加えると
 ---------
  1     1      1*1, 1*3, 1*9      1*(1+3+9)
  2     3      2*1, 2*3, 2*9      2*(1+3+9)
  4     9      4*1, 4*3, 4*9      4*(1+3+9)
  8            8*1, 8*3, 8*9      8*(1+3+9)  (＋
                        ------------------------
                      総和   (1+2+4+8)*(1+3+9)
となっています。

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■29938 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 約数の総和

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□投稿者/ satsuma 一般人(7回)-(2007/12/04(Tue) 23:44:14)

2007/12/04(Tue) 23:45:38 編集(投稿者)

返信どうもありがとうございます。
確かにそうなのですが、72という具体例ではそうなっていても、
一般に、ｎでそうなるということを理解するにはどのようにすればよいのでしょうか。
よく証明問題では具体例を書いても意味がないといわれますが、
約数の総和に関しては、先生の中にも、
小さい数でいくつか説明して、「数が大きくなっても同じや」
見たいな感じで片付けられる方もいらっしゃって、
そのような説明を聞くたびにいつも、なぜこの説明だけはそれで片付けるのか不思議でしょうがないです。
72でしたら、括弧二つ（素因数が二つ）ですませれて計算もすんなりできますが、
括弧（素因数）が2個、3個、・・・n個になっていくと、
計算の処理がさすがに厳しくなっていき、
nでも成り立つことはどう証明したらいいんじゃい！みたいな感じになってしまいます。
そのような状況の中でもきちんとあの式が成り立つことを理解するにはどうしたらよでしょうか。

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■29942 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 約数の総和

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□投稿者/ x 一般人(14回)-(2007/12/05(Wed) 00:00:21)

> 小さな数でも大きな数でも同じと言われるかもしれませんが、
> なんか、それでは数学ではないような気がします。
それは気のせいだろう. むしろ議論を抽象化して
> 展開してみれば確かにそうなると思うし、
> 因数分解をしてこの式を導くことは確かにできる
という手順は数の大きさに依らないので同じだといってしまうのが数学というものだ.

$2$n$ の素因数分解が $2$n\,=\,a_{1}^{p_{1}} a_{2}^{p_{2}} \,\cdots\, a_{m}^{p_{m}}$ で与えられるということは, $2$n$ の約数は必ず

　 $2$a_{1}^{k_{1}} a_{2}^{k_{2}}\, \cdots\, a_{m}^{k_{m}}$ $2$(k_1\,\le\,p_1,\, k_2\,\le\,p_2,\, \ldots,\, k_m\,\le\,p_m)$

の形に書けて, 逆にこの形に書ける数は全て $2$n$ の約数であるということなので, 約数の和は

　 $2$\sum\limits_{k_1,k_2,\ldots,k_m}\, a_{1}^{k_{1}} a_{2}^{k_{2}}\, \cdots\, a_{m}^{k_{m}}$

ということになるが, これの因数分解が
$2$\sum\limits_{k_1,k_2,\ldots,k_m}\, a_{1}^{k_{1}} a_{2}^{k_{2}}\, \cdots\, a_{m}^{k_{m}} \,=\, (1\, +\, a_{1}\, +\, \cdots\, +\, a_{1}^{p_{1}}) (1\, +\, a_{2}\, +\, \cdots\, +\, a_{2}^{p_{2}})\, \cdots\, (1\, +\, a_{m}\, +\, \cdots\, +\, a_{m}^{p_{m}})$

で与えられることを確かめるのは, 質問者がわかると言ってる方法で右辺を展開して左辺の項が一つずつ出ることを確認してもよいし, どうしても左辺を因数分解するという形を取りたいなら, $2$k_2,\,\ldots,\,k_m$ を決めるごとに $2$a_1$ の次数が $2$1\,\ldots,\,p_1$ であるような項が一つずつ出て

　 $2$\sum\limits_{k_1,k_2,\ldots,k_m}\, a_{1}^{k_{1}} a_{2}^{k_{2}}\, \cdots\, a_{m}^{k_{m}} \,=\, \sum\limits_{k_2,\ldots,k_m}\,(1\, +\, a_{1}\, +\, \cdots\, +\, a_{1}^{p_{1}})\, a_{2}^{k_{2}}\, \cdots\, a_{m}^{k_{m}}$

となることから因数の数 $2$m$ に関する数学的帰納法を使えばいい.

いずれにせよ, ここに書いたような意味でわたしも「小さな数でも大きな数でも同じ」と言っておきたい.

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■29943 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 約数の総和

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□投稿者/ x 一般人(15回)-(2007/12/05(Wed) 00:05:17)

2007/12/05(Wed) 00:10:00 編集(投稿者)

■No29938に返信(satsumaさんの記事)
> そのような説明を聞くたびにいつも、なぜこの説明だけはそれで片付けるのか不思議でしょうがないです。

一般の場合は書くのが面倒なだけで本質的にやることはまったく変わらんので, 真面目に書いてもさほど益が無いから. 小さい数でエッセンスは全部抽出できるから, その場合を理解すればよくて, 一般化は趣味や暇つぶしの類に過ぎないものになるといったほうがいいかもしれない.

質問者は数学が得意のようなので, どんどんこういう趣味に走って追求すればいいと思う, しかし数学嫌い数式嫌いの人が一般の式を見ても気分が悪くなるだけで何のことかわからないということにもなると思う. しかし数学は理屈だけの学問（個人的には屁理屈の学問と呼びたい）なので, 本質的な理屈が数式に頼らずとも伝えられるならば, 式で書くことに拘るべきではないと思う.

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■29944 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 約数の総和

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□投稿者/ miyup 軍団(131回)-(2007/12/05(Wed) 00:05:54)

例えば素数a,b,cと自然数s,t,uについて
(1+a^1+a^2+a^3+…+a^s)(1+b^1+b^2+b^3+…+b^t)(1+c^1+c^2+c^3+…+c^u)
を展開すると
項数が(1+s)(1+t)(1+u)個の数の和になることと
各項が、(　)中の項の総当たりで積になっていることが理解できていれば
十分だと思います。
なんらかの証明を必要とするようなことではないと思います。

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■29946 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 約数の総和

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□投稿者/ x 一般人(16回)-(2007/12/05(Wed) 00:18:17)

補足と言うほどでもないが

> 因数分解が
> $2$\sum\limits_{k_1,k_2,\ldots,k_m}\, a_{1}^{k_{1}} a_{2}^{k_{2}}\, \cdots\, a_{m}^{k_{m}} \,=\, (1\, +\, a_{1}\, +\, \cdots\, +\, a_{1}^{p_{1}}) (1\, +\, a_{2}\, +\, \cdots\, +\, a_{2}^{p_{2}})\, \cdots\, (1\, +\, a_{m}\, +\, \cdots\, +\, a_{m}^{p_{m}})$
>
> で与えられることを確かめるのは, 質問者がわかると言ってる方法で右辺を展開して左辺の項が一つずつ出ることを確認してもよい

というのと同様の議論は二項定理の証明でもやっていて, 組合せ論的な方法の一種だが, ちゃんと意味のある数学的な手法だということを理解して欲しい. 実際, 各括弧の中から項を一つずつ選び出して掛け合わせたものが展開後の各項になるのだから, 必要な約数はこの方法で必ず一つ, それもただ一通りの選び方によって得られる.

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■29948 / inTopicNo.8)

　Re[4]: 約数の総和

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□投稿者/ satsuma 一般人(8回)-(2007/12/05(Wed) 00:31:36)

xさん、miyupさんどうもありがとうございました。

数学ではあまりないのですけれども、
一番最初に示したような式が本なんかにボンっと書かれていたりすると、
特に証明なんかは書いてなかったり、あっても具体例でしかかいてなかったりするので、
なんで一般で示さないのかと思っておりました。
「因数分解や、展開という作業は数の大きさに依らないし、
数が大きくなっても本質的には変わらなく、
書くのが面倒」
などと、わざわざ一般で示さない理由を載せておいてくれれば、
あぁそうなのだなって思い、頭の中に入れておこうと思えるのですが、
何も言ってくれないとなかなか頭が受け付けれくれません。
物理でも、屈折率が小から大へ変わるときには位相はπずれ、
大から小へ変わるときにはずれないっということを高校で習いますが、
なぜそうなるのかというのは大学の電磁気かなにかで習うので
高校生には無理だと聞きました。
高校生には無理なら無理で良いのですが、
そういうことはきちんと教科書に載せておくべきであるような気がします。
そのように一言書いてあれば、「そうなのか、じゃぁ今は素直に受け入れて
大学に入ってからまた学ぼう」と思えます。
化学の質量作用の法則も、実際には高校では無理があるのに、
ごまかした、場合によっては理解していたこともぶち壊すような
いい加減な説明がなされる場合もあります。（実際、私がそうだった。。）
って、なんか話がずれてしまいました。。
どうもありがとうございました。

解決済み!

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■29950 / inTopicNo.9)

　Re[5]: 約数の総和

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□投稿者/ x 一般人(18回)-(2007/12/05(Wed) 01:00:29)

■No29948に返信(satsumaさんの記事)
> 「因数分解や、展開という作業は数の大きさに依らないし、
> 数が大きくなっても本質的には変わらなく、
> 書くのが面倒」
> などと、わざわざ一般で示さない理由を載せておいてくれれば、

一般の数学書でも, 「示すのは容易」とか「証明は読者に任せる」とか書いてあるのは大抵「書くだけの労力に見合うほど大した益はなく, ただただ面倒」という意味です. 中には教育的効果を考えてそう書く著者も居ますが. しかし数学は理屈が理に適った論理として繋がっているならそれは証明となりうる数学的な文章なので, 行間を埋めるのは読者の側の仕事だと諒解されるべきと考えられます.

> 何も言ってくれないとなかなか頭が受け付けれくれません。

これは個人の勝手に属することですから, 納得できないことに無理に納得する必要はありません. 自分の力の及ぶ範囲で大いにもがいてください, きっとそれはあなたの力になります.

> そういうことはきちんと教科書に載せておくべきであるような気がします。
> そのように一言書いてあれば、「そうなのか、じゃぁ今は素直に受け入れて
> 大学に入ってからまた学ぼう」と思えます。

数学でも例えば極限のちゃんとした定義は大学に入って始めて習うところ, そうとう直感的（直観的ですらない）な議論で収束だの発散だのとやりますし, 幾何学なんてそもそも何が前提になっているかすらわからないくらいに細切れにされていたりして, 大学である程度系統立てて学ぶようになるとその粗がよく見えるようになります. 大学も4年や院生になって自分の専攻を持つようになると, 高校までで習ったことが如何に曖昧でウソやゴマカシに満ちていたのかと感じる人は少なく無いようです. なんというか, 学校教育ってそんなモンです.

研究と教育は別物ですから, 中学や高校での教育が無駄だということでは決してありませんが, しかし高校の学習であまり微に入り細に入りして重箱の隅をつついても, あまり成果が得られないことも多いです. 少しずつでも専門書を繰ってみたほうが有益かもしれません. もちろん読める範囲でで構いません.

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