数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 証明：集合 / Page: 0]

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■29839 / inTopicNo.1)

　証明：集合

□投稿者/ 考える人一般人(9回)-(2007/12/02(Sun) 15:06:45)

問題

$2$M$ を２以上の自然数とする。 $2$N$ を自然数全体の集合とし、 $2$n$ ∈ $2$N$ について集合

　　 $2$A_n=$ {m|m∈N,m≦M/n}
の要素の個数を $2$a_n$ とする。 $2$S(M)=a_1+a_2+......+a_M$ とおくとき、
（１）不等式

$2$\sum\limits_{n = 2}^M{ \frac{M}{n}}<S(M)$ ≦ $2$\sum\limits_{n= 1}^M { \frac{M}{n}}$
が成り立つことを示せ。
（２）関数 $2$f(x)=\frac{1}{x}$ の定積分を用いて、

$2$\lim\limits_{M \to \infty } \frac{S(M)}{M\log M}=1$
であることを示せ。

（２）を解く方針は分かるのですが、（１）の示し方がわかりません。
どなたか教えていただけないでしょうか？
お願いします。

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■29840 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 証明：集合

▲▼■

□投稿者/ 考える人一般人(10回)-(2007/12/02(Sun) 15:11:20)

すみません。文字化けとなりましたが、
６行目の不等式の？の部分は $2$n=2$ です。

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■29845 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 証明：集合

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□投稿者/ x 一般人(2回)-(2007/12/02(Sun) 17:07:49)

2007/12/02(Sun) 17:36:21 編集(投稿者)

■No29839に返信(考える人さんの記事)
> 問題
>
> $2$M$ を $2$2$ 以上の自然数とする。 $2$\mathbb{N}$ を自然数全体の集合とし、 $2$n\in \mathbb{N}$ について集合
>
> 　　 $2$A_n\,=\,\{m\,\mid\, m\in \mathbb{N},\,m\,\le\,M/n\}$
> の要素の個数を $2$a_n$ とする。 $2$S(M)\,=\,a_1\,+\,a_2\,+\,\cdots\,\cdots\,+\,a_M$ とおくとき、
> （１）不等式
> $2$\sum\limits_{n=2}^M{\frac{M}{n}}\,<\,S(M)\,\le\,\sum\limits_{n=1}^M { \frac{M}{n}}$
> が成り立つことを示せ。

いくつか書き出してみれば分るが, $2$A_n\,=\,\{m\,\in\,\mathbb{N}\,\mid\,m\,\le\,\frac{M}{n}\}$ に属する自然数 $2$m$ というのは $2$\frac{M}{n}$ を越えない最大の自然数 $2$[\frac{M}{n}]$ 以下なら全部入るので, とくに $2$a_n\,=\,[\frac{M}{n}]$ になる. これは $2$M$ が $2$n$ で割り切れて $2$\frac{M}{n}$ が自然数になるという場合なら丁度 $2$[\frac{M}{n}]\,=\,\frac{M}{n}$ になるが, そうでないときも少なくとも $2$\frac{M}{n}\,-\,1\,\lt\,[\frac{M}{n}]\,\lt\,\frac{M}{n}$ であることはいえるから, 結局 $2$n$ に依らず各 $2$n\quad(1\,\le\,n\,\le\,M)$ に対して

　　 $2$\frac{M}{n}\,-1\,\,\lt\,a_n\,\le\,\frac{M}{n}$

であると言えて, これを $2$n\,=\,1,\,\ldots,\,M$ にわたって足すとほぼ欲しい式が得られる. 左辺の $2$n\,=\,1$ に相応する項は $2$-1$ が $2$M$ 個でてくるのと相殺されて消えるので, これで終い.

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