数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: ベクトル / Page: 0]

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■29772 / inTopicNo.1)

　ベクトル

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□投稿者/ マナ一般人(1回)-(2007/11/29(Thu) 20:07:52)

平面上の点Oを中心にもつ半径1の円周上に3点A,B,Cがある。ベクトル間の関係式 3↑OA＋4↑OB－5↑OC＝↑0が成り立つとき、三角形ABCの面積を求めよ。という問題です。お願いします。

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■29833 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ベクトル

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□投稿者/ nikumaru ＠一般人(6回)-(2007/12/02(Sun) 00:59:28)

■No29772に返信(マナさんの記事)
> 平面上の点Oを中心にもつ半径1の円周上に3点A,B,Cがある。ベクトル間の関係式 3↑OA＋4↑OB－5↑OC＝↑0が成り立つとき、三角形ABCの面積を求めよ。という問題です。お願いします。
>
>問題修正； $2$3 \vec{OA} + 4 \vec{OB} + 5 \vec{OC} = \vec{0}$ に修正して解答します．よろしく．３点A，B，Cが円周上にくるにはそれしかないでしょう！
＜解答＞　『仲間はずし』を用いて， $2$3 \vec{OA} + 4 \vec{OB} = -5 \vec{OC}$ ．そこで， $2$|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=1$ を用いるために， $2$|3 \vec{OA} + 4 \vec{OB}|^2 = | -5 \vec{OC}|^2$ より， $2$9 + 16 + 24 \vec{OA} \cdot \vec{OB} = 25$ ．∴ $2$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$ ．ラッキー！たまたま∠AOB= $2$90^0$ ．△OAB= $2$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ ．この方法で同様に $2$\vec{OB} \cdot \vec{OC} = - \frac{4}{5}$ ， $2$\vec{OC} \cdot \vec{OA} = - \frac{3}{5}$ ．三角形面積公式；△OBC= $2$\frac{1}{2} \sqrt{|\vec{OB}|^2 |\vec{OC}|^2 - (\vec{OB} \cdot \vec{OC})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1 \cdot 1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{10}$ ．△OCA= $2$\frac{1}{2} \sqrt{|\vec{OC}|^2 |\vec{OA}|^2 - (\vec{OC} \cdot \vec{OA})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1 \cdot 1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{10}$ ．よって，△ABC= $2$\frac{1}{2} + \frac{3}{10} + \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$ （答）こんな感じかな？

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■29881 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ベクトル

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□投稿者/ しろりん一般人(9回)-(2007/12/03(Mon) 13:04:24)

■No29833に返信(nikumaruさんの記事)
> ■No29772に返信(マナさんの記事)
>>平面上の点Oを中心にもつ半径1の円周上に3点A,B,Cがある。ベクトル間の関係式 3↑OA＋4↑OB－5↑OC＝↑0が成り立つとき、三角形ABCの面積を求めよ。という問題です。お願いします。
>>
> >問題修正； $2$3 \vec{OA} + 4 \vec{OB} + 5 \vec{OC} = \vec{0}$ に修正して解答します．よろしく．３点A，B，Cが円周上にくるにはそれしかないでしょう！
> ＜解答＞　『仲間はずし』を用いて， $2$3 \vec{OA} + 4 \vec{OB} = -5 \vec{OC}$ ．そこで， $2$|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=1$ を用いるために， $2$|3 \vec{OA} + 4 \vec{OB}|^2 = | -5 \vec{OC}|^2$ より， $2$9 + 16 + 24 \vec{OA} \cdot \vec{OB} = 25$ ．∴ $2$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$ ．ラッキー！たまたま∠AOB= $2$90^0$ ．△OAB= $2$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ ．この方法で同様に $2$\vec{OB} \cdot \vec{OC} = - \frac{4}{5}$ ， $2$\vec{OC} \cdot \vec{OA} = - \frac{3}{5}$ ．三角形面積公式；△OBC= $2$\frac{1}{2} \sqrt{|\vec{OB}|^2 |\vec{OC}|^2 - (\vec{OB} \cdot \vec{OC})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1 \cdot 1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{10}$ ．△OCA= $2$\frac{1}{2} \sqrt{|\vec{OC}|^2 |\vec{OA}|^2 - (\vec{OC} \cdot \vec{OA})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1 \cdot 1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{10}$ ．よって，△ABC= $2$\frac{1}{2} + \frac{3}{10} + \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$ （答）こんな感じかな？

「３点A，B，Cが円周上にくるにはそれしかないでしょう！」
そんなことはないと思います

座標平面上で考えるのが簡単で（この場合）

点O(0,0)，A(1，0)，B（0，1），C（3/5，4/5）
と置けることを確認しておわりです

よって答えは　1/5　

3↑OA＋4↑OB＝5↑OC　の図を描くと
角AOBが直角ということが見えてきますね

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■29913 / inTopicNo.4)

　Re[3]: ベクトル

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□投稿者/ nikumaru ＠一般人(8回)-(2007/12/04(Tue) 01:02:05)

すいません．ご指摘の通りです！御免なさい．
私の間違いを指摘いただき感謝．解法には問題ありませんね．
解法は同じで，訂正すると
$2$\vec{OB} \cdot \vec{OC} = \frac{4}{5}$ ． $2$\vec{OC} \cdot \vec{OA} = \frac{3}{5}$ ．△OAB= $2$\frac{1}{2}$ ，△OBC= $2$\frac{3}{10}$ ，△OCA= $2$\frac{2}{5}$ は同じ．求める面積は，△OBC+△OCA-△OAB= $2$\frac{1}{5}$ ．さて質問者はご理解できたでしょうか？私の勉強にはなりました．

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