 | より具体的に
g(k)=10^k-1 とすれば f(g(k))=k となりますのでいろいろ求めてみると
f(g(2)) と f(g(3)) → 54
f(g(2)) と f(g(5)) → 90
f(g(3)) と f(g(5)) → 135
f(g(2)) と f(g(7)) → 126
f(g(3)) と f(g(7)) → 189
f(g(5)) と f(g(7)) → 315
常に9mnになるようですので、最大値は 9mn ということになりそうです。
f(k)では単位分数だけしか考察できませんので、有理数xの循環節の長さをc(x)として
c(1/99)=2, c(1/999)=3, c(1/(99*999))=54
c(2/99)=2, c(1/999)=3, c(2/(99*999))=54
c(3/99)=2, c(1/999)=3, c(3/(99*999))=18
c(9/99)=2, c(1/999)=3, c(9/(99*999))=6
c(11/99)=2, c(1/999)=3, c(11/(99*999))=27
c(11/99)=2, c(9/999)=3, c(99/(99*999))=c(1/999)=3
c(27/99)=2, c(37/999)=3, c((27*37)/(99*999))=c(1/99)=2
c(999/99)=2, c(99/999)=3, c((999*99)/(99*999))=c(1)=1
（非循環小数は0または9の循環と考えて）最小値は明らかに1ですね。
|
