 | (3)の考え方があやしいですが、答えは以下の通りで合っていると思います。
(1)
双曲線Ｃ上にＰ(ｓ, １／ｓ), Ｑ(ｔ, １／ｔ)とおくと、
直線ＡＰの方程式は、ｙ－１／ａ＝{(１／ｓ－１／ａ)／(ｓ－ａ)}(ｘ－ａ),
直線ＡＱの方程式は、ｙ－１／ａ＝{(１／ｔ－１／ａ)／(ｔ－ａ)}(ｘ－ａ)となり、
ＡＰ⊥ＡＱの時、２直線の傾きについて、
{(１／ｓ－１／ａ)／(ｓ－ａ)}・{(１／ｔ－１／ａ)／(ｔ－ａ)}＝－１となるので、
整理すると、(ａ^2)ｓｔ＝－１となる。
また、直線ＰＱの傾きは、(１／ｓ－１／ｔ)／(ｓ－ｔ)＝－１／ｓｔ＝ａ^2となり、一定の値をとる。
(2)
線分ＰＱの中点は、((ｓ＋ｔ)／２, (１／ｓ＋１／ｔ)／２)＝((ｓ＋ｔ)／２, (ｓ＋ｔ)／(２ｓｔ))となり、
ここで、ｘ＝(ｓ＋ｔ)／２, ｙ＝(ｓ＋ｔ)／(２ｓｔ)とおくと、ｙ＝ｘ／(ｓｔ)＝－(ａ^2)ｘとなり、
線分ＰＱの中点は直線ｙ＝－(ａ^2)ｘ上を動く。
(3)
ＡＰ⊥ＡＱなので、３点Ａ, Ｐ, Ｑを通る円、つまり、直角三角形ＡＰＱの外接円について、
円の中心Ｃは、斜辺ＰＱの中点となる。
円の中心Ｃを、((ｓ＋ｔ)／２, －(ｓ＋ｔ)(ａ^2)／２)＝(ｕ, －(ａ^2)ｕ) (ｕ＝(ｓ＋ｔ)／２とする。),
円の半径ｒについて、ｒ^2＝ＡＣ^2＝(ａ－ｕ)^2＋(１／ａ＋(ａ^2)ｕ)^2
＝ａ^2＋ｕ^2＋１／(ａ^2)＋(ａ^4)(ｕ^2)とすると、
円の方程式は、(ｘ－ｕ)^2＋{ｙ＋(ａ^2)ｕ}^2＝ａ^2＋ｕ^2＋１／(ａ^2)＋(ａ^4)(ｕ^2)となる。
円の方程式の左辺を展開すると、
ｘ^2－２ｘｕ＋ｕ^2＋ｙ^2＋２(ａ^2)ｙｕ＋(ａ^4)(ｕ^2)＝ａ^2＋ｕ^2＋１／(ａ^2)＋(ａ^4)(ｕ^2)となり、
整理すると、(ｘ^2＋ｙ^2)－２{ｘ－(ａ^2)ｙ}ｕ＝ａ^2＋１／(ａ^2)となる。
この式が任意のｕについて常に成り立つ時、
ｘ^2＋ｙ^2＝ａ^2＋１／(ａ^2)…(イ)かつｘ－(ａ^2)ｙ＝０…(ロ)となり、
(イ), (ロ)を連立して解くと、(ｘ, ｙ)＝(ａ, １／ａ)または(－ａ, －１／ａ)となる。
したがって、３点Ａ, Ｐ, Ｑを通る円は、点Ａと点(－ａ, －１／ａ)を通る。
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