| (3)の考え方があやしいですが、答えは以下の通りで合っていると思います。
(1) 双曲線C上にP(s, 1/s), Q(t, 1/t)とおくと、 直線APの方程式は、y−1/a={(1/s−1/a)/(s−a)}(x−a), 直線AQの方程式は、y−1/a={(1/t−1/a)/(t−a)}(x−a)となり、 AP⊥AQの時、2直線の傾きについて、 {(1/s−1/a)/(s−a)}・{(1/t−1/a)/(t−a)}=−1となるので、 整理すると、(a^2)st=−1となる。 また、直線PQの傾きは、(1/s−1/t)/(s−t)=−1/st=a^2となり、一定の値をとる。 (2) 線分PQの中点は、((s+t)/2, (1/s+1/t)/2)=((s+t)/2, (s+t)/(2st))となり、 ここで、x=(s+t)/2, y=(s+t)/(2st)とおくと、y=x/(st)=−(a^2)xとなり、 線分PQの中点は直線y=−(a^2)x上を動く。 (3) AP⊥AQなので、3点A, P, Qを通る円、つまり、直角三角形APQの外接円について、 円の中心Cは、斜辺PQの中点となる。 円の中心Cを、((s+t)/2, −(s+t)(a^2)/2)=(u, −(a^2)u) (u=(s+t)/2とする。), 円の半径rについて、r^2=AC^2=(a−u)^2+(1/a+(a^2)u)^2 =a^2+u^2+1/(a^2)+(a^4)(u^2)とすると、 円の方程式は、(x−u)^2+{y+(a^2)u}^2=a^2+u^2+1/(a^2)+(a^4)(u^2)となる。 円の方程式の左辺を展開すると、 x^2−2xu+u^2+y^2+2(a^2)yu+(a^4)(u^2)=a^2+u^2+1/(a^2)+(a^4)(u^2)となり、 整理すると、(x^2+y^2)−2{x−(a^2)y}u=a^2+1/(a^2)となる。 この式が任意のuについて常に成り立つ時、 x^2+y^2=a^2+1/(a^2)…(イ)かつx−(a^2)y=0…(ロ)となり、 (イ), (ロ)を連立して解くと、(x, y)=(a, 1/a)または(−a, −1/a)となる。 したがって、3点A, P, Qを通る円は、点Aと点(−a, −1/a)を通る。
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