数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 通過範囲 / Page: 0]

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■17636 / inTopicNo.1)

　通過範囲

□投稿者/ 隆一一般人(1回)-(2006/09/27(Wed) 22:52:44)

実数 $2$\alpha$ について
$2$y$ = $2$\frac{(x-\alpha )^2}{4\alpha }$ + $2$2\alpha$
で表される曲線がある。
αが全実数を動く時、この曲線の通過する領域を図示せよ

最初は式を整理して、
$2$9\alpha ^2$ - $2$2(x+2y)\alpha$ + $2$x^2$ = $2$0$
として、 $2$\alpha$ が実数範囲に解を持つように、判別式≧0として解いていこうとしたのですが、上手くいきませんでした。
どうか教えてください。

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■17637 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 通過範囲

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□投稿者/ 青海付き人(60回)-(2006/09/27(Wed) 23:17:21)

■No17636に返信(隆一さんの記事)
> 実数 $2$\alpha$ について
> $2$y$ = $2$\frac{(x-\alpha )^2}{4\alpha }$ + $2$2\alpha$
> で表される曲線がある。
> αが全実数を動く時、この曲線の通過する領域を図示せよ
>
> 最初は式を整理して、
> $2$9\alpha ^2$ - $2$2(x+2y)\alpha$ + $2$x^2$ = $2$0$
> として、 $2$\alpha$ が実数範囲に解を持つように、判別式≧0として解いていこうとしたのですが、上手くいきませんでした。
> どうか教えてください。

あってると思いますよ。

判別式 $2$D = (x+2y)^2- 9x^2 = -2x^2 + xy + y^2 = (2x+y)(-x+y) >= 0$ より、

$2$(2x+y) >= 0$ 、 $2$(-x+y) >= 0$ と、 $2$(2x+y) <= 0$ 、 $2$(-x+y) <= 0$

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■17643 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 通過範囲

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□投稿者/ KINO 軍団(119回)-(2006/09/27(Wed) 23:45:31)

■No17637に返信(青海さんの記事)
判別式 $2$D/4=(x+2y)^2-9x^2=-8x^2+4xy+4y^2=4(2x+y)(-x+y)\ge 0$ ですね。

なお，もともとの式においてαが分数の分母にあるため，αの2次方程式を
導く際，α≠0 という条件の下で考えなければなりません。
従って，α≠0 なる解が存在する条件を求める必要があり，それが判別式≧0 と，
x^2≠0，すなわち x≠0 を判別式を利用して得られる範囲に追加する必要があります。

x=0 のときは，元の式に戻れば y=9α となり，αは 0 と異なる全ての実数を動きますので，y≠0 が y の範囲になります。

従って，求める領域は直線 y=x と y=-2x で囲まれた図形のうち，y 軸を含む部分で，これら2直線も含みますが，原点は除いたものになります。

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