数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 微積 / Page: 0]

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■16752 / inTopicNo.1)

　微積

□投稿者/ 数学苦手人一般人(22回)-(2006/08/28(Mon) 19:49:16)

関数f(x)はx≦3のときf(x)=x, x＞3のときf(x)=-3x+12で与えられている。
このとき、x≧0に対して、関数g(x)をg(x)=∫[0→x]f(t)dtと定める。
0≦x≦3のときのg(x)、x≧3のときのg(x)を求める問題で、解説？が
0≦x≦3のときf(x)=xよりf(t)=t
∴g(x)=∫[0→x]f(t)dt=[(1/2)t^2][0→x]=(1/2)x^2
x≧3のときf(x)=-3x+12
g(x)=∫[0→x]f(t)dt=∫[0→3](t)dt+∫[3→x](-3t+12)dt
=[(1/2)t^2][0→3]+[(-3/2)t^2+12t][3→x]=(-3/2)x^2+12x-18
となっているのですが、
0≦x≦3のときf(x)=xよりf(t)=t ∴g(x)=∫[0→x]f(t)dtの部分と、
x≧3のときf(x)=-3x+12
g(x)=∫[0→x]f(t)dt=∫[0→3](t)dt+∫[3→x](-3t+12)dt
の部分は、どのように考えて出せばいいのか教えてください

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■16764 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微積

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□投稿者/ miyup 大御所(673回)-(2006/08/28(Mon) 21:03:52)

2006/08/28(Mon) 21:05:45 編集(投稿者)

■No16752に返信(数学苦手人さんの記事)

グラフを描くと、(0,0)から(3,3)までは f(x)=x で、(3,3)から右は f(x)=-3x+12 です。

> 0≦x≦3のときf(x)=x

は「そのまま」です。

> x≧3のときf(x)=-3x+12

になるので、

> g(x)=∫[0→x]f(t)dt=∫[0→3](t)dt+∫[3→x](-3t+12)dt

x=0 から (3を超えて) x まで積分するときは、積分される関数が異なりますので
（x=0 から 3 まで）＋（3 から x まで）と分けることになります。

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■16767 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微積

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□投稿者/ 数学苦手人一般人(23回)-(2006/08/28(Mon) 21:22:53)

よくわかりました。ありがとうございます

解決済み!

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■16768 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 微積

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□投稿者/ 数樂一般人(10回)-(2006/08/28(Mon) 21:30:08)

■No16752に返信(数学苦手人さんの記事)
> 関数f(x)はx≦3のときf(x)=x, x＞3のときf(x)=-3x+12で与えられている。
> このとき、x≧0に対して、関数g(x)をg(x)=∫[0→x]f(t)dtと定める。

関数 f(t) は t≦3 のとき f(t)=t
　　　　　　　3＜t のとき f(f)=-3t+12
と t=3 を境目にして f(t) の内容が変わっています。これに対して
　　g(x)=∫[0→x] f(t) dt
ですから、g(x) は f(t) を t=0 から t=x まで定積分したモノです。

だから g(x) を求めるためには f(t) を t=0 から t=x まで積分しなければなりません。
ところが、積分される f(t) の内容は t=3 を境目にして変わっています。

だから、0 から x の間に 3 がなければ、すなわち x＜3 （x が 3 より小さい）ならば
t=0 から t=x までの間はずっと f(t)=t で f(t) の内容は変わりませんから
　　g(x)=∫[0→x] f(t) dt=∫[0→x] t dt
でかまいません。しかし、
あれば0 から x の間に 3 があれば、すなわち x≧3 （x が 3 以上である）ならば
t=0 から t=3 までの f(t) の内容（=t）と、 t=3 から t=x までの f(t) の内容（=-3x+12）が
違っていますから、積分して g(x) を求めるにしても、t=0 から t=3 までの間と、
t=3 から t=x まで間に（ちょうど t=3 の所で）区切って別々に積分しなければなりません。
すなわち
　　g(x)=∫[0→x] f(t) dt =∫[0→3] f(t) dt + ∫[3→x] f(t) dt
　　　　　　　　　　　　　　　=∫[0→3]( t )dt + ∫[3→x] (-3t+12) dt
としなければなりません。

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■16775 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 微積

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□投稿者/ 数学苦手人一般人(24回)-(2006/08/28(Mon) 23:38:31)

詳しい説明ありがとうございました

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