数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 三角形 / Page: 0]

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■16269 / inTopicNo.1)

　三角形

□投稿者/ satsuma 一般人(28回)-(2006/08/18(Fri) 21:33:42)

2006/08/18(Fri) 21:34:48 編集(投稿者)

AB＝2、AC=1、∠A＝θの三角形ABCにおいて、辺BCを直径とする半円をBCに関してAと反対側に作る。動点Pが半円周上を動くとき、線分APの長さの最大値をｍとおく。0<θ<180°のとき、mの最大値を求めよ。

という問題で、APがBCの中点を通るときmは最大値をとる(ここも感覚的にしか理解してないので教えていただきたいところですが本筋ではありません。)ので、余弦定理から
BC=√(5-4cosθ)、中線定理からAM^2=4cosθ-5/2
となるのですが、これは合っているでしょうか。
そこからmがθで表せますが、最大値はどうやって求めるのでしょうか。
これをやっていくと、ルートがあるので上手く行きません。
もっと式的にではなくてビジュアル的に解くものなのでしょうか。

教えてください。よろしくお願いいたします

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■16283 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角形

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□投稿者/ miyup 大御所(595回)-(2006/08/18(Fri) 22:18:28)

2006/08/18(Fri) 23:50:46 編集(投稿者)
2006/08/18(Fri) 23:50:04 編集(投稿者)
■No16269に返信(satsumaさんの記事)
> 2006/08/18(Fri) 21:34:48 編集(投稿者)
>
> AB＝2、AC=1、∠A＝θの三角形ABCにおいて、辺BCを直径とする半円をBCに関してAと反対側に作る。動点Pが半円周上を動くとき、線分APの長さの最大値をｍとおく。0<θ<180°のとき、mの最大値を求めよ。
>
> という問題で、APがBCの中点を通るときmは最大値をとる(ここも感覚的にしか理解してないので教えていただきたいところですが本筋ではありません。)ので、余弦定理から
> BC=√(5-4cosθ)、中線定理からAM^2=4cosθ-5/2

$2$AM^2=\frac54+\cos \theta$ ではありませんか？

$2$m=AM+\frac{BC}{2}=\frac12(\sqrt{5+4\cos \theta}+\sqrt{5-4\cos \theta})$ で

$2$m^2=\frac14(10+2\sqrt{25-16\cos ^2\theta})$ より、 $2$\theta=90^{\circ}$ のとき mは最大値を取る。

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■16293 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 三角形

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□投稿者/ satsuma 一般人(29回)-(2006/08/19(Sat) 00:05:56)

どうもありがとうございました。
すいません。。私の代入ミスでした。迂闊でした。

もしよろしければ
「APがBCの中点を通るときmは最大値をとる」という点についても教えていただけないでしょうか。
質問の上に質問を重ねてしまって申し訳ありませんが、どうかよろしくお願い致します。

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■16302 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 三角形

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□投稿者/ miyup 大御所(596回)-(2006/08/19(Sat) 11:00:33)

2006/08/19(Sat) 11:14:17 編集(投稿者)

■No16293に返信(satsumaさんの記事)
> どうもありがとうございました。
> すいません。。私の代入ミスでした。迂闊でした。
>
> もしよろしければ
> 「APがBCの中点を通るときmは最大値をとる」という点についても教えていただけないでしょうか。

BCの中点Mを通る経路APに対して、中点Mを通らない経路を考えます(これをAQとしましょう。Qは円周上の点でP≠Qです)

このとき、AP=AM+MP=AM+MQ > AQ (AM,MQ,AQを三角形AMQの３辺と考えればあきらか) です。

よって、中点Mを通らない経路はすべて、APより短くなります。

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■16305 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 三角形

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□投稿者/ satsuma 一般人(30回)-(2006/08/19(Sat) 12:00:47)

なるほど。。そういうことだったんですね。
言われて見ると簡単なように感じてしまいますが、なかなか自分ではできませんね。。
どうも有難うございました。

解決済み!

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