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■16194 / inTopicNo.1)

　積分公式の証明

□投稿者/ ますおさん一般人(1回)-(2006/08/16(Wed) 19:23:36)

被積分関数を微分せずに公式を証明せよとのこと…
いろいろ調べたのですが、わかりそうもないので手助けをお願いします。
以下、問題。

∫x^adx=1/(a+1)x^(a+1)

∫1/xdx=loglxl

∫dx/√(a^2-x^2)=arcsinx/lal (a=0以外)

などなどまだまだたくさんあるのですが、いったいどのように以上の公式を証明すればよいのでしょうか？よろしくお願いします。

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■16197 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分公式の証明

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□投稿者/ KINO 一般人(8回)-(2006/08/16(Wed) 19:58:00)

■No16194に返信(ますおさんさんの記事)
> 被積分関数を微分せずに公式を証明せよとのこと…

置換積分をするなということなのでしょうか。

とりあえず，不定積分の定義に戻って，示すべき等式の右辺の導関数が左辺の積分の被積分関数になることを示してみてはいかがでしょうか。
これなら，被積分関数を微分したことにはなりませんよね。

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■16218 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分公式の証明

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□投稿者/ ますおさん一般人(3回)-(2006/08/17(Thu) 16:46:40)

導関数を求めるということは微分したとみなされるようです…こちらの先生によると汗

うーん、定義は微分公式の両辺に積分記号をつけたものなんですよね？
どうしたものか。。

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■16219 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 積分公式の証明

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□投稿者/ らすかる大御所(424回)-(2006/08/17(Thu) 16:54:56)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

> 導関数を求めるということは微分したとみなされるようです
横槍ですが、「被積分関数を微分せずに」ですから
右辺を微分してはいけないとは言っていませんね。

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■16221 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 積分公式の証明

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□投稿者/ soredeha 一般人(40回)-(2006/08/17(Thu) 19:31:10)

> ∫x^adx=1/(a+1)x^(a+1)

「{1/(a+1)x^(a+1)}'＝x^a　　はだめよ」、ということでしょう。

x＝e^t　で置換積分すると
∫x^adx＝∫(e^t)^a(e^t)dt
　　　　＝∫e^{(a＋1)t}dt
　　　　＝{1/(a＋1)}e^{(a＋1)t}
　　　　＝{1/(a＋1)}e^(at)e^t
　　　　＝{1/(a＋1)}(x^a)x＝1/(a+1)x^(a+1)

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■16229 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 積分公式の証明

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□投稿者/ ますおさん一般人(5回)-(2006/08/17(Thu) 23:23:10)

>「{1/(a+1)x^(a+1)}'＝x^a　　はだめよ」、ということでしょう。
soredehaさん、それが言いたかったのです！
皆さん、僕の説明不足で迷惑をかけてすみませんでした。

やはりどのように置換するかという賢いやり方を見つけねばならないということですかね？自分にはどう置換すればいいか思い浮かばないのですが…

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■16232 / inTopicNo.7)

　Re[1]

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□投稿者/ soredeha 一般人(42回)-(2006/08/18(Fri) 03:36:12)

∫(被積分関数)dx

＞∫1/xdx=loglxl

x＝e^t　とおくと　dx/dt＝e^t
∫1/xdx＝∫(1/e^t)e^tdt＝∫1dt＝t＝logx

＞∫dx/√(a^2-x^2)=arcsinx/lal (a=0以外)

x＝|a|sint　( -π/2＜t＜π/2 )とおくと　dx/dt＝|a|cost
∫dx/√(a^2-x^2)＝∫|a|cost/(|a|cost)dt＝t＝arcsin x/lal

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■16290 / inTopicNo.8)

　Re[2]: ]

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□投稿者/ ますおさん一般人(6回)-(2006/08/18(Fri) 23:20:48)

soredehaさん、ありがとうございます。

ほかにもあるのですが、よろしいでしょうか？

∫dx/√(x^2＋a^2)=loglx＋√(x^2＋a^2)l (a=0でない)

∫√(a^2-x^2)dx=1/2{x√(a^2-x^2)＋a^2arcsinx/lal}

∫√(x^2＋a^2)dx=1/2{x√(x^2＋a^2)＋aloglx＋√(x^2＋a^2l)}

∫dx/(a^2＋x^2)=1/(a)arctanx/a (a=0でない)

∫e^xdx=e^x

∫a^xdx=1/(loga)a^x (a>0,a=1でない)

∫logxdx=xlogx-x

∫sinxdx=-cosx

∫cosxdx=sinx

∫dx/cos^2x=tanx

すべての計算式を書くのは大変だと思いますので、xを何に置換すればよいのかを教えていただければありがたいです。
計算は自分でしますので、って当然ですよね汗
よろしくお願いします。

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■16347 / inTopicNo.9)

　Re[3]: ]

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□投稿者/ soredeha 一般人(43回)-(2006/08/20(Sun) 00:46:14)

>∫dx/√(x^2＋a^2)=loglx＋√(x^2＋a^2)l (a=0でない)
x＝a sinht

>∫√(a^2-x^2)dx=1/2{x√(a^2-x^2)＋a^2arcsinx/lal}
Ｉ＝∫√(a^2-x^2)dx＝x√(a^2-x^2)-∫(-x^2)/√(a^2-x^2)dx
＝x√(a^2-x^2)-∫{(a^2-x^2)-a^2}/√(a^2-x^2)dx
＝x√(a^2-x^2)-∫√(a^2-x^2)dx＋∫a^2/√(a^2-x^2)dx
＝x√(a^2-x^2)-Ｉ＋a^2arcsinx/lal
2Ｉ＝x√(a^2-x^2)＋a^2 arcsin x/lal

> ∫√(x^2＋a^2)dx=1/2{x√(x^2＋a^2)＋aloglx＋√(x^2＋a^2l)}
前問と同様

> ∫dx/(a^2＋x^2)=1/(a)arctanx/a (a=0でない)
x＝atanθ
> ∫e^xdx=e^x
x＝logt
> ∫a^xdx=1/(loga)a^x (a>0,a=1でない)
x＝log[a]t
> ∫logxdx=xlogx-x
部分積分
> ∫sinxdx=-cosx
x＝arcsint
> ∫cosxdx=sinx
∫cosxdx＝∫sin(π/2-x)dx

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■16396 / inTopicNo.10)

　Re[4]: ]

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□投稿者/ ますおさん一般人(7回)-(2006/08/21(Mon) 01:26:31)

2006/08/21(Mon) 04:32:33 編集(投稿者)

ありがとうございます。実際に計算して見ます。

> ∫sinxdx=-cosx
x＝arcsint
> ∫cosxdx=sinx
∫cosxdx＝∫sin(π/2-x)dx

この２問の計算の仕方がよくわからないのですが、式をよかったら詳しく書いてくださいませんか？

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■16441 / inTopicNo.11)

　Re[5]:

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□投稿者/ soredeha 一般人(44回)-(2006/08/22(Tue) 01:48:32)

>∫sinxdx=-cosx

(x＝arcsint)
∫sinxdx＝∫t/√(1-t^2)dt＝-√(1-t^2)＝-cosx

>∫cosxdx=sinx

(x＝π/2-t )
∫cosxdx＝∫cos(π/2-t) (-1)dt＝-∫sintdt＝-(-cost)
　　　　＝cost＝cos(π/2-x)＝sinx

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■16462 / inTopicNo.12)

　Re[6]:

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□投稿者/ ますおさん一般人(8回)-(2006/08/22(Tue) 13:47:23)

ありがとうございました。
助かります。

解決済み!

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