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■13928 / inTopicNo.1)

　数学Ⅱの微分の関数の問題について

□投稿者/ 大学受験生一般人(8回)-(2006/06/24(Sat) 22:56:52)

数学Ⅱの微分の範囲のある関数の最大値を求める問題について質問です。

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関数 f(x)=|x^3-3a^2x| (a>0)がある。

y=f(x)の-1≦a≦1における最大値をM(a)とおく。M(a)を求めよ。

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上記の問題が問題集にありまして、その解説を読んでもよく分からなかったのですが、解説ではいきなりx^3-3a^2xを新たにg(x)とおき、g(x)=x^3-3a^2xとy=3a^2との交点を求め、それぞれ-a(重解)、2aとおき、そしてそれと-1≦a≦1の範囲から３つの範囲を絞り出して、

(i)1≦a
(ii)1/2＜a＜1
(iii)0＜a≦1/2

としていました。ここで分からないことが２つあるのですが、g(x)=x^3-3a^2xとy=3a^2との交点を求めるところで、なぜy=3a^2という関数が出てきたのか、そしてその解である-a、2aとが-1≦a≦1から範囲を絞るときに使われたのかが分かりません・・・。

説明が下手ですみません。よければ、ご教授よろしくお願いします。

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■13930 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 勘違いだったらごめんなさい

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□投稿者/ laki 一般人(7回)-(2006/06/24(Sat) 23:22:59)

> 関数 f(x)=|x^3-3a^2x| (a>0)がある。
>
> y=f(x)の-1≦a≦1における...

　y=f(x)の-1≦x≦1における...の間違いじゃないですか？

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■13931 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 勘違いだったらごめんなさい

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□投稿者/ 大学受験生一般人(9回)-(2006/06/24(Sat) 23:25:52)

■No13930に返信(lakiさんの記事)
>>関数 f(x)=|x^3-3a^2x| (a>0)がある。
>>
>>y=f(x)の-1≦a≦1における...
>
> 　y=f(x)の-1≦x≦1における...の間違いじゃないですか？
>

そうでした・・・。ほんとにすみません。-1≦a≦1ではなく、-1≦x≦1です。
ご指摘頂き、どうもありがとうございます。

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■13932 / inTopicNo.4)

　Re:勘違いだったらごめんなさい

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□投稿者/ laki 一般人(8回)-(2006/06/24(Sat) 23:32:57)

もう一つかな？

■No13928に返信(大学受験生さんの記事)
>
> 上記の問題が問題集にありまして、その解説を読んでもよく分からなかったのですが、解説ではいきなりx^3-3a^2xを新たにg(x)とおき、g(x)=x^3-3a^2xとy=3a^2との交点を求め、それぞれ-a(重解)、2aとおき、そしてそれと-1≦a≦1の範囲から３つの範囲を絞り出して、

↑g(x)=x^3-3a^2xとy=2a^3との交点を求め...
じゃないと重解が.....

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■13933 / inTopicNo.5)

　Re[2]: Re:勘違いだったらごめんなさい

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□投稿者/ 大学受験生一般人(10回)-(2006/06/24(Sat) 23:56:20)

■No13932に返信(lakiさんの記事)
> もう一つかな？
>
> ■No13928に返信(大学受験生さんの記事)
>>
>>上記の問題が問題集にありまして、その解説を読んでもよく分からなかったのですが、解説ではいきなりx^3-3a^2xを新たにg(x)とおき、g(x)=x^3-3a^2xとy=3a^2との交点を求め、それぞれ-a(重解)、2aとおき、そしてそれと-1≦a≦1の範囲から３つの範囲を絞り出して、
>
> ↑g(x)=x^3-3a^2xとy=2a^3との交点を求め...
> じゃないと重解が.....

そうでした・・・。すみません。y=3a^2ではなく、y=2a^3です・・・。
なんかむちゃくちゃですね、ほんとすみません。

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■13936 / inTopicNo.6)

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□投稿者/ laki 一般人(10回)-(2006/06/25(Sun) 00:19:12)

y=g(x)の極値は、g(a)=-2a^3、g(-a)=2a^3
であり、この極値はy=f(x)=lg(x)lの最大値の候補です。

ただし、y=g(x)のグラフ上でこの極値と同じ値を取る点があります。
それを求めるためにy=g(x)とy=2a^3を連立して、
重解(x=-aで極値をとるので重解がこの値をとるのはあたりまえ)と
もう一方の解x=2aを求めています。(∴g(2a)=2a^3)

lxlが2lal以上の値をとると、
y=lg(x)lが明らかに2a^3より、
大きい値をとるのでxの範囲-1≦x≦1がx=2lalの
の値を含むとき、最大値は極値ではなく、
xの端の点x=1で最大値をとります。
よって場合分けで,-1≦x≦1の範囲に
(i)極値を含まない場合
(ii)極値を含む場合、ただしx=2aは取れないとき
(iii)x=2aを含む場合
の三つで分けています。

y=g(x)は原点対称なので
y=f(x)=lg(x)l はy軸対称となり、
l2a^3l=f(±a)=f(±2a)=lg(±a)l=lg(±2a)l
なので、x≧0で考えれば十分です。

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■13938 / inTopicNo.7)

　Re[4]: Re

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□投稿者/ laki 一般人(11回)-(2006/06/25(Sun) 00:38:04)