| y=g(x)の極値は、g(a)=-2a^3、g(-a)=2a^3 であり、この極値はy=f(x)=lg(x)lの最大値の候補です。
ただし、y=g(x)のグラフ上でこの極値と同じ値を取る点があります。 それを求めるためにy=g(x)とy=2a^3を連立して、 重解(x=-aで極値をとるので重解がこの値をとるのはあたりまえ)と もう一方の解x=2aを求めています。(∴g(2a)=2a^3)
lxlが2lal以上の値をとると、 y=lg(x)lが明らかに2a^3より、 大きい値をとるのでxの範囲-1≦x≦1がx=2lalの の値を含むとき、最大値は極値ではなく、 xの端の点x=1で最大値をとります。 よって場合分けで,-1≦x≦1の範囲に (i)極値を含まない場合 (ii)極値を含む場合、ただしx=2aは取れないとき (iii)x=2aを含む場合 の三つで分けています。
y=g(x)は原点対称なので y=f(x)=lg(x)l はy軸対称となり、 l2a^3l=f(±a)=f(±2a)=lg(±a)l=lg(±2a)l なので、x≧0で考えれば十分です。
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