数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 数列の極限 / Page: 0]

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■13734 / inTopicNo.1)

　数列の極限

□投稿者/ seven sea 一般人(1回)-(2006/06/21(Wed) 16:43:39)

～問～
A={2のm乗│m=0,1,2,・・・}とする。Aの要素で、10進法で表したときに、桁数がn以下のものの個数を{a[n]}、そのうち1番左の数字が1であるものの個数を{b[n]}とする。
(1){b[n]}=nであることを示せ
(2)lim(n→∞){b[n]}/{a[n]}を求めよ。

(1)からわかりませんでした。解説を読んでも全然意味がわかりません。特に解説の、

『k≧2のとき、Aの要素のうち桁数がk-1以下の最大のものは2^(a[k-1]-1)である。このとき2^(a[k-1]-1)<10^(k-1)≦2^a[k-1]である。』

の部分が難しすぎて全然わかりません。どうして『Aの要素のうち桁数がk-1以下の最大のものは2^(a[k-1]-1)』なんでしょうか？それとどうして『2^(a[k-1]-1)<10^(k-1)≦2^a[k-1]』なんでしょうか？どなたかわかりやすく教えていただけませんでしょうか？よろしくお願いします。

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■13792 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列の極限

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□投稿者/ はまだ大御所(366回)-(2006/06/22(Thu) 00:20:23)

■No13734に返信(seven seaさんの記事)
ｋを具体的な数字にしてみて考えてみてはいかがでしょうか。
『k=3のとき、Aの要素{1,2,4,8,16,32,64,128,・・・｝のうち桁数が3-1＝2以下の最大のものは2^(2桁以下のAの要素の個数-1)＝2^(7-1)＝64である。
このとき2^(a[2]-1)<10^2≦2^a[2]である。』

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■13799 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数列の極限

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□投稿者/ seven sea 一般人(2回)-(2006/06/22(Thu) 08:52:19)

k=2、3、4と具体的な場合を考えて見ました。確かに解説の通りのようです。では何故そういうことになるのでしょうか。その理由が知りたいです。

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■13802 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数列の極限

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□投稿者/ はまだ大御所(370回)-(2006/06/22(Thu) 14:46:51)

■No13799に返信(seven seaさんの記事)
桁数がk-1桁以下の要素の個数はa[k-1]個ですので
そのうち最大のものは　要素のa[k-1]番目ということになります。
集合Aの□番目の数字は2^(□-1）であらわされますので
2^(a[k-1]-1)
となります。

これはk-1桁以下で最大の数字なので
2^a[k-1]はｋ桁の数字になります。
ｋ桁の数字は10^(k-1)以上の数字ですので
2^(a[k-1]-1)<10^(k-1)≦2^a[k-1]
が成り立ちます。

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■13825 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 数列の極限

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□投稿者/ seven sea 一般人(3回)-(2006/06/22(Thu) 20:41:39)

『そのうち最大のものは　要素のa[k-1]番目ということになります。』の箇所と
『集合Aの□番目の数字は2^(□-1）であらわされますので』の箇所が今ひとつよくわかりません。もう少し解説を付け加えていただけないですか？お願いします！

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■13843 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 数列の極限

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□投稿者/ はまだ大御所(373回)-(2006/06/23(Fri) 01:15:07)

■No13825に返信(seven seaさんの記事)
ｋ-1桁以下の要素の個数がa[ｋ-1]個あり、小さい方から並んでいるので、最大のものはa[ｋ-1]番目です。

集合Aの1番目＝2^(1-1)＝1
2番目＝2^(2-1)＝2
3番目＝2^(3-1)＝4
a[k-1]番目＝2^(a[k-1]-1)

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